线性系统理论(第4章)ppt课件.ppt

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1、第4章控制系统的稳定性分析4.1系统稳定的基本概念4.2李雅诺夫稳定性理论4.4构造李雅诺夫函数的规则化方法4.3控制系统的李雅诺夫稳定性分析第4章控制系统的稳定性分析重点：1.外部稳定性和内部稳定性2.李雅普诺夫稳定性理论3.线性系统的状态运动稳定性判据4.构造李雅普诺夫函数的规则化方法4.1系统稳定的基本概念一.外部稳定性为保证以输入输出为关系来表征的线性因果系统的描述的唯一性，假定系统的初始条件为零。定义1(外部稳定性)如果存在一个固定的有限常数及一个标量，使得系统的输入u(t)满足时，所产生的

2、输出y(t)满足称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定性，简称为BIBO稳定性。对于连续时间线性系统，BIBO稳定性可由输入-输出描述中的脉冲响应矩阵或传递函数矩阵进行判别。定理1(线性时变系统的BIBO稳定)对于零初始条件的连续时间线性时变系统，设其脉冲响应矩阵为。该系统为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数，使得一切，的所有元(；)均满足定理2(线性定常系统的BIBO稳定)对于零初始条件的连续时间线性定常系统，设其脉冲响应矩阵为，传递函数矩阵函数为。该系统为BIBO稳定的充

3、分必要条件是，存在一个有限常数，使得时，的所有元(；)均满足或者G(S)为真有理分式函数矩阵，且其所有元传递函数gij(S)的所有极点均具有负实部。二.内部稳定性考虑连续时间线性时变系统，其输入u(t)=0的状态方程即自治状态方程为式中的A(t)为n×n时变矩阵，且满足解存在唯一性条件。设系统的状态零输入响应是由任意非零初始状态引起的状态响应。定义2(内部稳定性)对于连续时间线性时变系统，如果由时刻t0任意非零初始状态引起的状态零输入响应对所有是有界的，并满足则称该系统在时刻t0为内部稳定。对于一般情况

4、，系统(线性或非线性)的内部稳定性是指自治系统状态运动的稳定性，等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定。对于连续时间线性系统，内部稳定性可以由状态转移矩阵或系数矩阵直接判别。对n维连续时间线性时变自治系统，其在t0时刻的任意非零初始状态为，则其状态零输入响应为容易看到，有界当且仅当有界，当且仅当。定理3(线性时变系统的内部稳定)对于n维连续时间线性时变自治系统，其在t0时刻是内部稳定(或渐进稳定)的充分必要条件是，状态转移矩阵对所有是有界的，并满足渐进属性定理4(线性定常系统的内部稳定)对于n维连续时间线性定

5、常自治系统系统是内部稳定(或渐进稳定)的充分必要条件是，矩阵指数函数满足定理5(线性定常系统的内部稳定)对于n维连续时间线性定常自治系统，系统是内部稳定(或渐进稳定)的充分必要条件是，系统矩阵A的所有特征值()均具有负实部，即对于周期时变系统一类特殊连续线性时变系统，系统矩阵可通过李雅普诺夫变换化为时不变矩阵，系统内部稳定的充分必要条件归结为要求矩阵所有特征值均具有负实部。三.内部稳定性和外部稳定性的关系系统的内部稳定性和外部稳定性之间的关系是通过系统的内部状态表现出来，对这种关系的研究，在理论分析和工

6、程应用上都具有重要价值和基本意义。定理6(内部稳定和外部稳定关系)对于连续时间线性定常系统式中，，u为p维输入，y为q维输出。若系统为内部稳定(或渐进稳定)，则系统必为外部稳定。定理7(内部稳定和外部稳定关系)连续时间线性定常系统如果是外部稳定的，系统未必是内部稳定的。1.自治系统、平衡系统和受扰系统系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定性。直观上，系统平衡状态的稳定性就是，偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，或者使之限制在平衡状态的有限领域内，或者使之同时最终返回到平衡状态。定

7、义1(自治系统)没有外加输入作用即不受外部影响的系统称为自治系统。自治系统的一般描述为式中，，为显含时间变量t的n维向量函数。(1)四.李雅诺夫稳定性定义对于连续时间线性时变系统，自治系统状态方程可表示为对于连续时间线性定常系统，自治系统状态方程又可表示为定义2(平衡状态)对于自治系统(1)，如果存在某个状态，满足则称为该系统的一个平衡状态。自治系统的平衡状态一般情况下不唯一。对于连续时间线性定常系统，平衡状态为方程的解。如果矩阵A为非奇异，则是其唯一解；但是若A为奇异矩阵，则还有其他非零解。在大多数情

8、况下，即状态空间的原点是系统的一个平衡状态。如果系统的平衡状态在状态空间中呈现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态。孤立平衡状态的重要特性是，通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，因此在今后的讨论中，常假定平衡状态就是原点。定义3(受扰运动)将自治系统由初始状态x0扰动引起的一类状态运动称为受扰运动。实际上，受扰运动就是系统的状态零输入响应，起因与稳定分析中将非零初始状态x0看成相对于零平衡状态xe=0的一个状态扰动。为了更明显的表