现代控制理论第2章 线性系统的运动ppt课件.ppt

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1、第2章线性系统的运动分析定量分析----对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。定性分析----则着重对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等2.1线性定常系统状态方程的解2.2线性系统的一般运动2.3连续系统的状态空间描述的离散化2.4线性离散时间系统的一般运动2.1线性系统的自由运动线性系统自由运动分析的数学实质系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。指在输入向量及初始状态的条件下系统的运动1.齐次状态方程解的一般表达式2.状态转移矩阵令t=

2、0（一）齐次状态方程解的一般表达式因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵于是齐次状态方程的解为:另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:对比将矩阵指数函数或称为系统的状态转移矩阵，记为状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。②包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动态特性。③当且仅当A的特征值均具有负实部，线性定常系统为渐进稳定。①如果t为某给定常数T，那么零输入响应就是状态空间中由初始状态经线性变换常数阵所致。几点解释：（二）状态转移矩阵1.状态转移矩阵的基本性质；

3、2.状态转移矩阵的计算。a.直接求取；b.拉普拉斯变换；c.化矩阵A为对角型或约当型；d.化矩阵指数为A的有限项。①证：（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质由性质①②推出：②证：式(2-9-1)式逐项对t求导这个性质表明，状态转移矩阵与系统矩阵A满足交换律。③证：根据矩阵指数函数的定义，有表明具有分段组合的性质。④证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有⑤证明：可把一个转移分为若干个小的转移来研究。⑥若为的状态转移矩阵，则引入非奇异变换后的状态转移矩阵为：证：式中：1.直接求取法[例2.1]已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵。解：根据定义有：结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点

4、是难以获得解析形式，不适合手工计算。（2）状态转移矩阵的计算（P1072.2节）（书P107例2-4）2.普拉斯变换法结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。[例2.2]跳转[例2.2]已知系统矩阵，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵。解:返回上页（书P100例2-1）3. 化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法①矩阵A的特征值互异[例2.3]已知系统矩阵，试用化矩阵A为对角规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为（书P108例2-5）②矩阵A有重特征值设矩阵A为“友”矩阵

5、，且有m1重特征值，m2重特征值，互异特征值[例2.4]已知系统矩阵，试用化矩阵A为约当规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为：（书P109例2-6）两种常见的状态转移矩阵形式①设②设[例2.5]已知系统矩阵试求状态转移矩阵解:③矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其中：模态标准形矩阵的的状态转移矩阵可由下式计算(证明略)[例2.6]已知系统的系数矩阵求系统状态转移矩阵解：矩阵A的特征值为解得：[例2.7]已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵解:在第1章[例1.6-5]中已得到结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，

6、并建立起了矩阵A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。4. 化矩阵A为有限项法(待定系数法)这种方法是利用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton),将的的无穷级数化为矩阵A的有限项之和进行计算。凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足：应用凯莱-哈密尔顿定理a.矩阵A有n个互异的特征值下面按A的特征值形态分两种情况讨论[例2.6]重做[例2.3]已知系统矩阵，试用凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵。解：在[例2-3]中已求出矩阵A的特征值b.矩阵A有n重特征值A有重特征值时，得不到式（

7、2-41）所示的线性独立的n个方程式（2-43）对求一次导数，得到一个独立方程，求n-1次导数，就可以得到n-1个独立方程。如果A的特征值[例2.7]试用化矩阵指数为A的有限项法求解[P113例2-9]解:在[例2.4]中已求得矩阵A的特征值【例2.8】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所以该矩阵不是状态转移矩阵。[例2.9]根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵性质2(一)线性系统的零状态强迫运动系统