自动控制原理第四章 根轨迹法ppt课件.ppt

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1、4-2绘制根轨迹的基本条件和基本规则4-3广义根轨迹4-4滞后系统的根轨迹第四章线性系统的根轨迹分析4-1根轨迹的基本概念4-5利用根轨迹法分析系统的性能4-6用MATLAB绘制系统的根轨迹控制系统的稳定性由闭环极点（特征根）决定，系统暂态响应的基本特性也与闭环极点在s平面的分布有密切的关系。伊凡思(W.R.Evans)提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环极点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。高阶系统特征根的求取比较困难，从而限制了时域分析法在二阶以上系统中

2、的广泛应用。4-1根轨迹的基本概念[根轨迹定义]：系统中某参量变化时，闭环系统特征方程的根(闭环极点)在s平面上运动而形成的轨迹。例：如图所示二阶系统，-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：[讨论]：①当K=0时，s1=0,s2=-2,是开环传递函数的极点②当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6③当K=0.5时，s1=-1,s2=-1④当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j⑤当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j特征根为：根轨迹与系统性能稳

3、定性考察根轨迹是否进入右半s平面。稳态性能开环传递函数在坐标原点的极点个数，就是系统的型号。根轨迹上的K值就是开环增益。（通常根轨迹增益与开环增益不同，但有一定的对应关系）动态性能由K值所对应的闭环极点分布来估计。根轨迹可以很直观地表示出当参数K变化时闭环特征根的变化，反映出参数K对系统性能的影响；也可以很方便地确定满足系统性能要求的K值。系统的结构图如下：-闭环传递函数为：闭环特征方程式为：凡是满足该方程的s值，就是系统的特征根，或者说是根轨迹上的点。所以该方程也称为根轨迹方程。4-2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、根轨迹绘

4、制条件把上式改写为：为开环传递函数。因为s是复数，所以G(s)H(s)也是复数，需满足幅值和幅角（相角）两方面的条件，即：1.幅值条件：2.相角条件：为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，把开环传递函数写成如下形式：∴幅值条件：为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，把开环传递函数写成如下形式：∴相角条件：相角条件：幅值条件：可见，幅值条件与Kg有关，相角条件与Kg无关。因此，把满足相角条件的s值代入到幅值条件中，一定能求得一个与之相对应的Kg值。即凡是满足相角条件的点必然也同时满足幅值条件；反之，满足幅值条件的点未必都满

5、足相角条件。根轨迹就是s平面上满足相角条件的点的集合。通常根据相角条件绘制根轨迹；用幅值条件确定根轨迹上某些点对应的Kg值。二、绘制根轨迹的基本规则下面介绍以Kg为参变量时绘制根轨迹的基本规则。（Kg从0变化到+∞）开环传递函数一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。因此根轨迹必然对称于实轴。一、根轨迹的连续性和对称性闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的函数。当Kg从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。根轨迹方程为：时为起点，时为终点。当时，只有时，上式才

6、能成立，所以根轨迹起始于开环极点。二、根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。当时，①，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当时n阶特征方程有n个根。当Kg从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶次。三、实轴上的根轨迹：实轴上

7、具有根轨迹的区间是：其右方开环实数零点数和极点数的总和为奇数。[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、p4和一对共轭零点z1、z2。先看试验点s1点：所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2,－p1]为实轴上的根轨迹。②成对出现的共轭零点z1、z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°；而s2、s3点不是根轨迹上的点。①成对出现的共轭极点p3、p4对实轴上任意试探点构成的

8、两个向量的相角之和为0°；[例]设系统的开环传递函数为试求实轴上的根轨迹。[解]：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。四、根轨迹的渐近线：渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角）和渐近线与实轴的交点。倾角：