均值不等式习题简单.docx

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1、均值不等式习题一、选择题（共14小题；共70分）1.已知a>0，b>0，且2a+b=4，则1ab的最小值为  A.14B.4C.12D.22.若x>0，则x+4x的最小值为  A.2B.3C.22D.43.函数y=x+2xx>0取得最小值时的自变量x等于  A.2B.22C.1D.34.已知a,b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是  A.a+b≥2abB.ab+ba≥2C.∣ab+ba∣≥2D.a2+b2>2ab5.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升

2、高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室应在  A.2楼B.3楼C.4楼D.8楼6.已知a,b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是  A.a+b≥2abB.ab+ba≥2C.ab+ba≥2D.a2+b2>2ab7.若x<0，则函数y=x2+1x2−x−1x的最小值是  A.94B.0C.2D.48.以长为10 m的线段AB为直径作半圆，则其内接矩形的面

3、积的最大值为  A.10B.15C.25D.509.若直线xa+yb=1a>0,b>0过点1,1，则a+b的最小值等于  A.2B.3C.4D.510.若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga⋅lgb的最大值是  A.0B.1C.2D.5211.若实数a，b满足1a+1b=ab，则ab的最小值为  A.2B.2C.22D.412.有一长为16 m的篱笆，要围一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为  A.32 m2B.14 m2C.16 m2D.18 m213.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营

4、运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大  A.3B.4C.5D.614.某学生用一不准确的天平（两臂不等长）称10 g药品，他先将5 g的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品  A.小于10 gB.大于10 gC.大于等于10 gD.小于等于10 g二、填空题（共4小题；共20分）15.几个重要的不等式（1）a2+b2≥④

5、 a,b∈R，当且仅当a=b时取等号．（2）ab≤a+b22a,b∈R，当且仅当a=b时取等号．（3）a2+b22≥a+b22a,b∈R，当且仅当a=b时取等号．（4）ba+ab≥2（a，b同号），当且仅当a=b时取等号．16.某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计为 米．17.已知x，y均为正实数，且x+4y=1，则xy的最大值为 ．18.要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池，周围两侧分

6、别留出宽分别为3 m，4 m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为 、宽为 ．三、解答题（共2小题；共26分）19.将条件改为a+2b=3，求1a+1b的最小值．20.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周的围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该水池的长和宽都不能超

7、过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．第一部分1.C2.D3.A4.C【解析】因为ab和ba同号，所以∣ab+ba∣=∣ab∣+∣ba∣≥2．5.B6.C【解析】因为ab和ba同号，所以ab+ba=ab+ba≥2．7.D【解析】y=x2+1x2−x−1x≥2x2⋅1x2+2−x⋅−1x=4x<0，当且仅当x=−1时取等号．8.C9.C【解析】通解因为直线xa+yb=1a>0,b>0过点1,1，所以1a+1b=1，所以1=1a+1b≥21a⋅1b=2ab（当且仅当a=b时取等号），

8、所以ab≥2．又a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号），所以a+b≥4（当且仅当a=b=2时取等号）．优解因为直线xa+yb=1a>0,b>0过点1,1，所以1a+1b=1，所以a+b=a+b1a+1b=2+ab+ba≥2+2ab⋅ba=4（当且仅当a=b=2时取等号）．10.B【解析】因为a>1，b>1，所以lga>0，lgb>0．lga⋅lgb≤lga+lgb24=lgab24=1．当且仅当a