均值不等式练习题.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式221.（1）若a,bR，则a2b22ab(2)若a,bR，则abab（当且仅当ab时取“=”）22.(1)若a,bR*，则abab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）22(3)若a,b*ab(当且仅当ab时取“=”）R，则ab23.若x1当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x11时取0，则x2(2(当且仅当xxx“=”）若x0，则x112或x1-2(当且仅当ab时取“=”）x2即xxx3.若ab0，则ab2

2、(当且仅当ab时取“=”）ba若ab0，则ab2即ab2或ab-2(当且仅当ab时取“=”）bababaR，则(ab)224.若a,b2ab（当且仅当ab时取“=”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1.凑系数例1.当0x4时，求yx(82x)的最大值。解析：由0x4知，82x0，利用均值不等式求最值，必须和为定值

3、或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。yx(82x)1[2x·(82x)]1(2x82x)28222当且仅当2x82x，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.凑项例2.已知x5，求函数fxx1的最大值。()4244x51解析：由题意知4x50，首先要调整符号，又(4

4、x2)·不是定值，故需对4x2进行凑4x5项才能得到定值。∵x54x0，54∴xx11·1f((54x)3254(x)3231)4245x5544xx当且仅当54x1，即x1时等号成立。4x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离例3.x27x10求y(x≠1)的值域。x1解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。yx27x10(x1)25(x1)4(x1)4x1x15x1当x10，即x1时y2(x459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。1)·1x当x10，即x1时y52(x1)·41（当且仅

5、当x＝－3时取“＝”号）。x1∴yx27x10(x≠－1)的值域为(，1][9，)。x1评注：分式函数求最值，通常化成A()B(A0m0)，g(x)恒正或恒负的形式，ymgx，g()x然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例4.已知a0，b0，a2b1，求t11的最小值。解法1：不妨将11ab乘以1，而1用a＋2b代换。ab(11)·1(11)·(a2b)abab12ba2ab32baab322b·aab322当且仅当2ba2baa21时取等号，由ab，得2ab1a

6、2b1b2a2111的最小值为即2时，t322。bab12解法2：将11分子中的1用a2b代换。aba2ba2b12baaba2b32ba22a3b评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到t32ba，而2b与a的积为定值，即可用均值不等式11的最小值。abab求得tab三、换元例5.求函数yx2的最大值。2x5解析：变量代换，令tx2，则xt22(t0)，则yt12t2当t＝0时，y＝0当t0112时，y4122t·12ttt3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯当且仅当2t1，即t2时取等号。t2故x3时，

7、ymax2。24评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数y2x152x(1x5)的最大值。22解析：注意到2x1与52x的和为定值。y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y0，所以0y22当且仅当21x52x，即x3时取等号。2故ymax22。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

8、［练一练］1.若0x2，