人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：正余弦定理.docx

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1、解三角形模块一：正余弦定理在△ABC中的三个内角A，B，C的对边，分别用a，b，c表示．1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC=2R．①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；③a:b:c=sinA:sinB:sinC．④面积公式：S=12absinC=12bcsinA=12acsinB．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角

2、；②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：&c2=a2+b2-2abcosC,&b2=a2+c2-2accosB,&a2=b2+c2-2bccosA.变形式为：&cosC=a2+b2-c22ab,&cosB=a2+c2-b22ac,&cosA=b2+c2-a22bc.4．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：①已知两边和任意一个内角解三角形；②已知三角形的三

3、边解三角形．考点1：正弦定理例1.（1）在中，角，，所对应的边分别为，，．若，，，则　　A．1B．C．2D．【解答】解：因为，，，所以，由正弦定理，可得：．故选：．（2）在中，，，，则等于　　A．B．C．3D．【解答】解：中，，，，由正弦定理可得，，则故选：．例2.（1）在中，角，，对边分别为，，．已知，，则角　　A．B．C．D．【解答】解：在中，角，，对边分别为，，．已知，，则：，故：，整理得：，所以：，由于：，故：．，则：，故选：．（2）在中，，，分别是角，，的对边，且，则　　A．B．C．D．【解

4、答】解：由，由正弦定理可得：，而，代入化简得，由于，，，所以，可得：．故选：．例3.（1）满足条件的三角形的个数是　　A．1个B．2个C．无数个D．不存在【解答】解：由余弦定理得，即，即，或．故选：．（2）在中，若，，，那么满足条件的　　A．有一个B．有两个C．不存在D．不能确定【解答】解：在中，，，，由余弦定理，得：，得，△，且两根之和、两根之积都为正数，方程有两个不相等的正实数根，即有两个边满足题中的条件，由此可得满足条件的有两个解．故选：．（3）满足下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中

5、有两个解的是　　A．①②B．①④C．①②③D．③④【解答】解：①，，即，因此两解．同理可得：②两解；③一解，④无解．故选：．考点2：余弦定理例4.（1）中，角，，的对边分别为，，，若，．且，则的面积为　　A．2B．3C．4D．【解答】解：中，，可得：，整理可得：，，，解得：，可得：，，．故选：．（2）在中，内角，，所对应的边分别是，，，已知，则的大小为　　A．B．C．D．【解答】解：，已知等式利用正弦定理化简得：，即，，为三角形内角，．故选：．模块二：题型归纳1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系

6、式的运用①A+B+C=π．②sinA+B=sinC；cosA+B=-cosC．③sinA+B2=cosC2；cosA+B2=sinC2．④a>b⇔A>B⇔sinA>sinB．2．与三角形形状相关的几个结论①在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；②在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC为等边三角形；③在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；④在△ABC中，若acosB+bcosA=csinC，则△ABC为直

7、角三角形；⑤在△ABC中，若sinAcosB+cosC=sinB+sinC，则△ABC为直角三角形．考点3：判断三角形形状例5.（1）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则一定是　　A．等腰三角形非直角三角形B．直角三角形非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：在中，，，故由正弦定理可得，，，，．即，由正弦定理可得，故的形状为等腰直角三角形，故选：．（2）在△ABC中，a=2bcosC，则这三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形　　D．等腰或直角三角形【解答】

8、A（3）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则这三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形　　D．等腰或直角三角形【解答】D考点4：解决实际问题例6.（1）在一座高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，由已知可得：，，塔高为．故选：．（2）如图，A，B是海面上位于东西方向相距53+3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救