人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳(提高)：证明不等式的方法.docx

《人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳(提高)：证明不等式的方法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法目录目录1考点一比较法2考点二综合法与分析法3考点三反证法与放缩法4考点四数学归纳法6课后综合巩固练习8考点一比较法1．求差比较法：知道a＞b⇔a-b＞0，a＜b⇔a-b＜0，因此要证明a＞b，只要证明a-b＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法：由a＞b＞0⇔且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞b，只要证明即可，这种方法称为求商比较法．1．给出下列命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，则；④；其中正确命题的个数为　　A．0个B．1个

2、C．2个D．3个【分析】对于三个命题分别判断，正确的给出证明，错误的能举出反例，是解答这类题目的重要方法，另外记住一些结论对捷达选择或者填空题很有帮助．本题要一一作出解答．【解答】解：①，，，，，，，此命题正确；②，，，，，，命题不正确；本题可以举出反例如：设，，，可验证命题不正确；③反例设，，成立，但是，均无意义；更谈不上了；④设，则，当且仅当即，显然不成立，此命题不正确．综上可知只有①正确．故选：．【点评】本题考查了命题的概念和命题的真假判断，结合不等式知识，综合考查了综合法，分析法，反证法，比较作差法等不等式的证明方法

3、；另外对均值不等式的应用题目设计很好地体现了学生容易出现的错误，很有针对性！2．若时，有，则在时，下列不等式成立的是　　A．B．C．D．【分析】根据时，有，结合选项，即可得出结论．【解答】解：时，有，时，成立，故选：．【点评】本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题考点二综合法与分析法1．分析法　从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．2．综合法　从已知条件出发，利用定义、公理、

4、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．4．求证：证明：要证只需证即证即证原不等式成立以上证明应用的方法是　　A．间接证明B．综合法C．分析法D．不是以上方法3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个是偶数”的正确假设为（　　）A．自然数a，b，c中至少有一个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数4．证明不等式“2-3＜6-7”最适合的方法是（　　）A．综合法B．分析法C．反证法D．数学归纳

5、法考点三反证法与放缩法放缩法　在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出矛盾；3．否定假设，肯定结论．【关键要点点拨】放缩法证明不等式的主要理论依据 （1）不等式的传递性； （2）等量加不等量为不等量； （3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较．[注意]放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设

6、，且，求证：，则证明的依据应是　　A．B．C．D．【分析】把代入不等式，利用因式分解得出使不等式成立的条件即可．【解答】解：，．要证：，只需证：，即证：，即证：，即证：，即证：，即证：．故选：．【点评】本题考查了分析法证明，属于中档题．4．要证明不等式，可选择的方法有　　A．分析法B．综合法C．反证法D．以上三种方法均可【分析】利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论．【解答】解：用分析法证明如下：要证明，需证，即证，即证，即证，显然成立，故原结论成立．综合法：，．反证法：假设通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．从以

7、上证法中，可知三种方法均可．故选：．【点评】本题考查分析法、综合法、反证法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题．考点四数学归纳法1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n0时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获

8、得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步