用数学归纳法证明不等式课件(人教A选修4-5).ppt

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1、[读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>.1＋nx[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，用(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．[研一题][悟一法][通一类][研一题][精讲详析]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大

2、小关系，然后利用数学归纳法证明．(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P3

3、与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．[通一类]2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N*)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N*，an＋1

4、)<1，b2＝f(a1)

5、出结论，然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．[通一类]解：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n>n2成立．下面用数学归纳法进行证明．当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，则有3k≥k2＋1.对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k≥k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴3k＋1>(k＋1)2，∴对n＝k＋1，命题成立．由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．本课时考点常与数列问题相结合

6、以解答题的形式考查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证](2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3；(2)求数列{xn}的通项公式．[命题立意]本题考查数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力．点击下图片进入: