用数学归纳法证明不等式课件 选修4-5

《用数学归纳法证明不等式课件 选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节　用数学归纳法证明不等式【课标要求】1．会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式．2．了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用．3．会用数学归纳法证明贝努利不等式．【核心扫描】1．利用数学归纳法证明不等式是本节考查的重点．2．本节常与不等式的性质、放缩法等综合考查.1．贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则.2．贝努利不等式的更一般形式：当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；当α为实数，并且满足0＜α＜1

2、时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．自学导引(1＋x)n>1＋nx1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证()．A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4解析由题意知n≥3，∴应验证n＝3.故选C.答案C基础自测2．对于正整数n，下列说法不正确的是()．A．32≥1＋2nB．0.9n≥1－0.1nC．0.9n＜1－0.1nD．0.1n≥1－0.9n解析由贝努利不等式∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)，∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，故A正确．当x＝－0.1时，(1－0.1)

3、n≥1－0.1n，B正确，C不正确．答案C解析分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案A题型一　用数学归纳法证明绝对值不等式【例1】设x1，x2，…，xn为实数，证明：

4、x1＋x2＋…＋xn

5、≤

6、x1

7、＋

8、x2

9、＋…＋

10、xn

11、.[思维启迪]在n＝k成立证明n＝k＋1也成立时，注意应用绝对值不等式性质．证明(1)∵

12、x1＋x2

13、≤

14、x1

15、＋

16、x2

17、，∴n＝2时命题成立．(2)设命题n＝k(k≥2)时成立，即

18、x1＋x2＋…＋xk

19、≤

20、x1

21、＋

22、x2

23、＋…＋

24、xk

25、，于是，当n＝k＋1时，

26、x1＋x2＋…

27、＋xk＋1

28、＝

29、(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1

30、≤

31、x1＋x2＋…＋xk

32、＋

33、xk＋1

34、≤

35、x1

36、＋

37、x2

38、＋…＋

39、xk

40、＋

41、xk＋1

42、.即当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对于任意n∈N*命题都成立．规律方法使用数学归纳法要完成两步．第一步要验证“基础”；第二步要证明“递推”，二者缺一不可．关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归纳法的灵活和魅力所在，要根据不同问题加强练习，逐步掌握．【变式1】证明不等式

43、sinnθ

44、≤n

45、sinθ

46、(n∈N＋)．证明(1)当n＝1时，上式左边＝

47、sinθ

48、＝右边

49、，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即有

50、sinkθ

51、≤k

52、sinθ

53、.当n＝k＋1时，

54、sin(k＋1)θ

55、＝

56、sin(kθ＋θ)

57、＝

58、sinkθcosθ＋coskθ·sinθ

59、≤

60、sinkθcosθ

61、＋

62、coskθ·sinθ

63、≤

64、sinkθ

65、＋

66、sinθ

67、≤k

68、sinθ

69、＋

70、sinθ

71、＝(k＋1)

72、sinθ

73、.即当n＝k＋1时不等式成立．由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．题型二　用数学归纳法证明不等式【例2】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1(n∈N*)．(1)

74、求证{an－2n}为等差数列；(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)．[思维启迪]由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法证明要证的结论即可．解(1)由an＋1＝an＋2n＋1得(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1，因此{an－2n}成等差数列．(2)an－2n＝(a1－2)＋(n－1)＝n－1，即an＝2n＋n－1，bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.规律方法同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关

75、，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出后再证明．题型三　数学归纳法与数列的综合问题[思维启迪]由题意可得如下信息：an，bn，an＋1成等差数对任意n都成立．n＝1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出通项公式，然后用数学归纳法证明之．第二问列出式子发现用裂相法与放缩法即可证明．比用数字归纳法简便．规律方法这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出，有时是根据条件从前n项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明．方法技巧　数学归纳法在不等式中的应用[

76、思路分析](1)问关键利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)解决；(2)问先求出bn的通项，再结合数学归纳法证明．方法点评本题考查数列的基本问题、等比数列的基础知识；考查数学归纳法证明不等式；考查分析问题、解决问题的能力.