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《选修4-5学案.1.1数学归纳法证明不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式姓名☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.会运用数学归纳法证明不等式重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.☆数学归纳法的应用：例1.用数学归纳法证明不等式.例2已知x>-1，且x¹0，nÎ
2、N*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.例3证明:如果为正整数)个正数的乘积,那么它们的和.例4证明:例5.当时,求证:选修4-5练习§4.1.1数学归纳法证明不等式（1）姓名1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.62、.观察下列式子：…则可归纳出_________.3、已知,,则的值分别为_________，由此猜想_________.4、用数学归纳法证明:能被8整除.5、用数学归纳法证明6、.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，
3、其中n∈N7、求证：8、已知，，用数学归纳法证明：9、.求证：用数学归纳法证明．答案:1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1⑴当时,上式左边右边,不等式成立.⑵设当时,不等式成立,即有.那么,当时,=例2证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+
4、2x+x2∵x¹0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.例3证明:⑴当时,有，命题成立.⑵设当时，命题成立，即若个正数的乘积,那么它们的和.那么当时,已知个正数满足.若个正数都相等,则它们都是1.其和为,
5、命题成立.若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与矛盾).不妨设.例4证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例5（1）练习1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f
6、(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C2、解析：(n∈N*)(n∈N*)、、、4、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.那么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1
7、)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除.5．证明：1°当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。2°假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，
8、42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.7．证明：（1）当n=
