用数学归纳法证明不等式 课件（人教A选修45）.ppt

《用数学归纳法证明不等式 课件（人教A选修45）.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、[读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>.1＋nx[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，用(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．[研一题][悟一法][通一类][研一题][精讲详析]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后

2、利用数学归纳法证明．(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P3

3、求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．[通一类]2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N*)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N*，an＋1

4、1，a2＝f(b2)

5、问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．[通一类]解：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n>n2成立．下面用数学归纳法进行证明．当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，则有3k≥k2＋1.对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k≥k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴3k＋1>(k＋1)2，∴对n＝k＋1，命题成立．由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、

6、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证](2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3；(2)求数列{xn}的通项公式．[命题立意]本题考查数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力．点击下图片进入: