恰当微分方程与积分因子ppt课件.ppt

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1、§2.3恰当微分方程与积分因子1变量分离方程线性微分方程对称形式的微分方程2一、恰当方程的定义及条件如果我们恰好碰见了方程就可以马上写出它的隐式解3定义1则称微分方程是恰当微分方程.1恰当微分方程的定义恰当方程(ExactEquation)4例：上述方程是恰当微分方程5对于方程(1)方程(1)是否为恰当微分方程?(2)若(1)是恰当微分方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当微分方程,是否可能转化为恰当方程求解?考虑62方程为恰当微分方程的充要条件定理1为恰当微分方程的充要条件是7证明“充分性”设(1)是恰当方程,故有从而故8“必要性”即应满

2、足9因此10此时，要求(7)的右端与x无关(7)的右端对x求偏导为0！11事实上12故13若(1)为恰当方程,则其通解为注:14二、恰当方程的求解1.不定积分法2.凑微分法151不定积分法16例验证方程是恰当方程,并求它的通解.解:故所给方程是恰当方程.1718即积分后得:故从而方程的通解为19另一种思路：改写从而方程的通解为凑微分202分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如2122例验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰

3、当方程.把方程重新“分项组合”得即23或写成故通解为:故所求的初值问题的解为:24考虑方程:是恰当方程？是恰当方程!再考虑方程:是恰当方程？不是恰当方程!解相同!!非恰当方程能否变成恰当方程？25三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.26对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.271定义28例5解:对方程有由于.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证=+++=dyyxxdxxyyyxyxm例29把以上方程重新“分项组合”得

4、即求通解故方程的通解为:302积分因子的确定即31尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.32变成即由于上式左侧仅与x有关，所以上式右侧只能是x的函数的微分。33此时求得积分因子343定理微分方程3536例求微分方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于37利用恰当方程求解法得通解为38积分因子是求解微分方程的一个极为重要的方法绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.几点说明39积分因子的不唯一性根据实际情况确定40例求解方程解:方程改写为:或:易

5、看出,此方程有积分因子41即故方程的通解为:42例求解方程解:故方程不是恰当方程,43方法1:即故方程的通解为:44方法2:方程改写为:容易看出方程左侧有积分因子:故方程的通解为:积分因子不唯一45方法3:方程改写为:这是齐次方程,即故通解为:变量还原得原方程的通解为:46方法4:方程改写为:故方程的通解为:即方程的通解为:47作业P60习题2.32(1,5,10)848