2.3恰当微分方程与积分因子

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1、§2.3恰当方程与积分因子一、恰当微分方程的定义及条件如果我们恰好碰见了方程就可以马上写出它的隐式解定义1则称微分方程是恰当方程（全微分方程）.如均是恰当方程.1恰当微分方程的定义需考虑的问题(1)如何判断方程(2.42)是恰当方程?(2)若(2.42)是恰当方程,怎样求解?(3)若(2.42)不是恰当方程,是否能转化为恰当方程求解?2方程为恰当微分方程的充要条件注1为恰当微分方程的充要条件是证明“必要性”设(2.42)是恰当方程,故有从而故“充分性”即应满足因此事实上故(8)注：若(2.42)为

2、恰当方程,则其通解为二、恰当微分方程的求解1不定积分法例1验证方程是恰当方程,并求它的通解.解:故所给方程是恰当方程.从而方程的通解为即积分后得:故从而方程的通解为2分组凑微分法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如例2求方程的通解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:例3验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成或写

3、成故通解为:故所求的初值问题的解为:3线积分法注1充分性的证明也可用如下方法:由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:从而(2.42)的通解为或三、积分因子对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.此时对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.定义例5解:对方程有1积分因子的定义由于把以上方程重新“分项组合”得即也即故所给方程的通解为:2积分因子的确定即尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.变成即此时求得积分因子事实上，命题1微

4、分方程命题2例6求微分方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于利用恰当方程求解法得通解为积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.注：一阶微分方程只要有解，则必有积分因子，且不唯一。例7求解方程解:方程改写为:或:易看出,此方程有积分因子即故方程的通解为:例8求解方程解:故方程不是恰当方程,方法1:即故方程的通解为:方法2:方程

5、改写为:容易看出方程左侧有积分因子:故方程的通解为:方法3:方程改写为:这是齐次方程,即故通解为:变量还原得原方程的通解为:方法4:方程改写为:故方程的通解为:即方程的通解为:命题3如果是方程（1）的一个积分因子，是的一个原函数，则也是原方程（1）的积分因子，其中是的任一可微函数.例求解方程解将方程左端重新组合，得前一组有积分因子和通积分后一组有积分因子和通积分我们要寻找可微函数，使试取于是，解出因此，得原方程的一个积分因子用它乘原方程两端得即可得原方程通解为此外，方程还有特解作业P601、(1)

6、(4)2、(2)(4)(8)