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1、.2019年高考专题-圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点F、F2的距离的和等于常数2a（大于
2、FF2
3、）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆11的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有
4、MF1
5、
6、MF2
7、2a。椭圆的标准方程为：x2y21（ab0y2x21（ab0）（焦点在y轴a2b2）（焦点在x轴上）或2b2a上）。注：①以上方程中a,b的大小ab0，其中b2a2c2；②在x2y21和y2x21两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分a2b2a2b2母的大小。例如椭圆x2y21（m0，n0，mn）
8、当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时mn表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质①范围：由标准方程x2y21知
9、x
10、a，
11、y
12、b，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；a2b2y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上，②对称性：在曲线方程里，若以所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的
13、交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，
14、OB2
15、b，
16、OF2
17、c，
18、B2F2
19、a，且
20、OF2
21、2
22、B2F2
23、2
24、OB2
25、2，即c2a2b2；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ecac0，∴0e1，且
26、e越接近1，c就叫椭圆的离心率。∵a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2。2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（
27、
28、PF1
29、
30、PF2
31、
32、2a）。注意：①式中是差的绝对值，在02a
33、F1F2
34、条件下；
35、PF1
36、
37、PF2
38、2a时为双曲线的一支；
39、PF2
40、
41、PF1
42、2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a
43、F1F2
44、时，
45、
46、PF1
47、
48、PF2
49、
50、2a表示两条射线；③当2a
51、F1F2
52、时，
53、
54、
55、PF1
56、
57、PF2
58、
59、2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，
60、F1F2
61、叫做焦距。;...椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义
62、PF1
63、
64、PF2
65、2a(2a
66、F1F2
67、)
68、
69、PF1
70、
71、PF2
72、
73、2a(2a
74、F1F2
75、)方程x2y21x2y21x2y21y2x21a2b2b2a2a2b2a2b2焦点F(c,0)F(0,c)F(c,0)F(0,c)注意：如何用方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质①范围：从标准方程x2y21，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa的外侧。即a2b2x2a2，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。②对称性：双曲线x2y21关于
76、每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a2b2是双曲线x2y21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a2b2x2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1的方程里，对称轴是x,y轴，所a2b2x2y2以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0)，他们是双曲线1的顶点。a2b2令x0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2a,a22叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2）实轴：
77、线段AABB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x2y21的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a2b2⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。abxy(0)03，则等轴双曲线
