最精确素数定理的发现及证明.doc

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1、最精确素数定理的发现及证明山东章丘一职专马国梁大家知道：素数的序列曲线是一条单调增长的不规则连线。而关于究竟有没有一条能够贯穿始终的中轴线及方程的问题，多少年来人们一直在进行苦苦的探索。虽然曾有人根据统计规律进行归纳推测，也有人利用其它方程的曲线向其靠近，但皆由于证据不足而难以令人信服。所以至今竟使不少人怀疑中轴线的存在，更谈不上写出它的方程。笔者经过长时间的分析研究后认为：之所以至此，是因为在研究方向上发生了偏差。素数本身是没有规律的，它的统计规律只是一种表面现象，而不是其内在本质。所以要想弄清它的根本原因，

2、我们必须从素数的产生机制上着手，才能有所突破。幸运的是：笔者沿着这个正确的方向，终于取得了成功。虽然研究过程十分艰难，好多次试探都归于失败。也曾几度走投无路，意欲放弃，但不想又峰回路转，绝路逢生。整个过程一波三折，思想左右摇摆。因为笔者也不知这条中轴线究竟是否存在。如果它根本就不存在，那笔者的研究岂不成了捕风捉影？毫无成功的可能！但幸好实际情况不是这样。下面笔者就将自己的研究结果做如下介绍。我们知道：“埃氏筛法”是寻找素数最基本最有效的方法。其实这个方法不光适用整个自然数轴，它也适用于局部范围。所以在任一素数P

3、i之后的一段长度里（Pi+1-Pi），当它被前面的所有素数筛漏的只剩下1个单位时，那么就要产生新的素数了。当然这种筛选我们没有必要用上Pi之前所有的素数，而是只用sqrt(Pi)前面的所有素数就可以了。其中最大的素数为PrPr≈sqrt(Pi)这样当[Pi+1-Pi][1/2][2/3][4/5]……[(Pr–1)/Pr]=1时将会有Pi+1=Pi+[2/1][3/2][5/4]……[Pr/(Pr-1)]其中从2开始到Pr的筛剩率连乘积的倒数就是新素数的理论间距。其大小为ΔPr=[2/1][3/2][5/4]…

4、…[Pr/(Pr-1)]=ΔPr-1[Pr/(Pr–1)]将素数间距改写成连续的方程yr=yr-1[xr/(xr–1)]那么其平均导数是dy/dx=(yr/yr-1)-1=1/(xr–1)]=1/(x–1)从而得dy=dx/(x–1)将两边积分得y=ln(x-1)+C当积分区间是从2开始到x的定积分时，积分常数C将被消去。并且当x很大时，x–1项中的1可以略去，因而得y=ln(x)yr=ln(xr)可是实际验算证明：用这个公式计算的只是从3/2开始一直到Pr/(Pr-1)连乘积，所以若算ΔPr必须对其加倍，即Δ

5、Pr=2yr=2ln(xr)≈ln(Pi)这个结果早期的理论推导也已经证明。现在大家也都知道：当x→∞时，素数的间距确实是趋于ln(Pi).由此得素数系列的递推式是Pi+1=Pi+ln(Pi)其中P1=2我们可以利用这个式子将数据推算到无限远处，并把它的序列曲线画出来，这条曲线就是黎曼曲线。但是在P～i坐标系中我们发现：黎曼曲线总是在真实的素数曲线之下，且相距越来越远。所以同样的P值，黎曼曲线将需要更大的序号。这就说明真实的素数平均增长幅度是大于ln(Pi)的，原先的素数定理是不准确的。那么究竟应该怎样进行修正

6、呢？笔者为此曾经绞尽脑汁，多方进行试探。在经过一系列失败后，笔者才终于醒悟到：原来我们忽略了一个重要乘项——尾倍率。我们知道：Pi是素数，所以它的平方根不可能是整数，更不可能是素数，所以进行筛选的最大素数Pr肯定小于sqrt(Pi).并且sqrt(Pi)的位置不是固定不变的，而是随机的。它可能略大于Pr，也可能略小于Pr+1.虽然Pr和Pr+1的平均距离并不大，但是对于Pi之后的素数增幅却影响很大。Pi+1的增幅是lnPi，而Pi后面最大的增幅则是ln[(Pr+1)^2]=2ln(Pr+1)=2ln[sqrt(

7、Pi)+ln(sqrt(Pi))]≈lnPi[1+1/sqrt(Pi)]前后的平均增幅是lnPi[1+0.5/sqrt(Pi)]ln(Pi)＜＜sqrt(Pi)＜＜Pi就是说前面我们在用筛剩率的倒数计算素数间距时，必须采用收尾法乘到Pr+1/(Pr+1-1)这一项。从sqrt(Pi)到Pr+1这一段的筛剩率是不可忽略的。只是由于它的位置不定，所以我们只好取它的中间位置。这样以来此项筛剩率就变成了sqrt(Pi)/[sqrt(Pi)–0.5]在增加了这一项之后素数定理即变成了ΔPi=ln(Pi)sqrt(Pi)/

8、[sqrt(Pi)–0.5]=ln(Pi)/[1–0.5/sqrt(Pi)]这就是迄今为止最为精确的素数定理。素数的递推式为Pi+1=Pi+ln(Pi)/[1–0.5/sqrt(Pi)]实践证明：用这个递推式计算绘出的序列曲线比任何其它曲线都更靠近和更多的穿越真实的素数曲线，它就是素数的中轴曲线。由于精确的素数定理的发现，使得历史上遗留下来的许多疑难问题被迎刃而解。(1)首先是关于素数