三个素数分布定理的初等证明

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1、http://www.paper.edu.cn三个素数分布定理的初等证明许作铭，罗贵文辽宁大学数学学院，沈阳（110036）E-mail:xzm9@163.com摘要：本文通过创立一种新的筛法与台阶理论，研究了素数（孪生素数、哥德巴赫素数）分布与台阶数、台阶数字个数以及台阶系数的关系，并利用初等方法证明了素数分布定理（不大于N的素数个数的计算公式）、孪生素数定理（不大于N的孪生素数对数的计算公式）以及Goldbach's定理（“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数之和”表示法个数的计算公式）。应用本计算公式，可

2、以有效的估算素数、孪生素数和哥德巴赫素数的实际分布。关键词：素数分布；孪生素数；Goldbach素数；台阶系数；筛法。中图分类号：O156.1O156.4数学主题分类号：11N0511P32文献标识码：A1.台阶的划分与∏p筛法定义1我们把小于并最接近x的素数称为方根素数，用px(,)表示。显然px(,)≤x。定义2令fxe(),=∏p−1（1-1）ppxe≤(),p我们把p(xe,)称为台阶素数；pxe(,1−)为p(xe,)前面的一个素数；p(xe,1)为p(xe,)后面的一个素数。称f(xe,)为素数的

3、台阶系数，简称台阶系数。显然，f(xe,)具有以下性质：（1）f(xe,)是非负有界函数0≺fxe(,)≤0.5（1-2）（2）f(xe,)是单调递减函数fxe(,1)≺≺fxe(,)fxe(,1−)（1-3）（3）当x→∞时f(xe,0)→渐近线f(xe,0)=（1-4）px(),与p(xe,)的关系：当x较小时，pxe(),,≥px()；在第7台阶后pxe(),,;px()。+定义3将正整数集合N分成无限个有限数字组成的台阶，每个台阶中的数字具有同一个台阶素数p(xe,)，把这些数字称为同一台阶的数。每一

4、个台阶中第一个数称该台阶的首数，用axe(,)表示；最后一个数称该台阶的尾数，用bxe(,)表示。T表示第k个台阶。k台阶的划分由台阶系数f(xe,)来决定.令1,1fxefk1,fxe()()bxe(),==be()=eae=+=1,bxeb+=+11（1-5）kkk+1则b为p(xe,)的台阶尾数；a为p(xe,1)台阶的首数。（见[1]388-391）kk+1+bk定义4设集合P={2，3，5，7，11，⋯}。将正整数x∈N按集合P的次序逐次扩大235...××××p

5、n倍，然后将这些素数及合数对应的数字也筛去，这种筛法称∏p筛法Ⅰ。根据定义1及定义4，把正整数x逐次筛分到px(,)时，第一个X区间的数字除1以-1-http://www.paper.edu.cn外全部为素数。当继续扩大筛分到p(xe,)，这时平均每个X区间的数字个数为：p−1,x∏=xfxe()（1-6）ppxe≤(),p定义5我们把xfxe(,)称为诸X区间数字个数的平均值。定义6我们把每个台阶中实际素数个数与该台阶数字个数的比称为素数在该台阶中∗平均分布密度，简称分布密度，用f()xe,表示。显然第k个

6、台阶的分布密度为：∗ππ()()bbkk−−1fx()ef,==。（π(x)的定义见[2]数论导引90）（1-7）kbbkk−−1定义7将正整数x逐次乘以2，3，5，.....p(xe,)，其数值达到∏p。然后将其ppxe≤(),分成若干个个数相等的X区间，其数量为∏p个。首先将2，3及其合数筛去。然后ppxe≤(),把位于数列{56+k}（kN∈）之中，5，7，11，13⋯pxe(,)及其合数全部筛去，再将这些素数和合数加2的那些数字也全部筛去。将{16+k}（kN∈）之中，5，7，11，13直到p(xe,

7、)及其合数全部筛去，再将这些素数和合数减2的那些数全部筛去。这种筛法叫∏p筛法Ⅱ。1经过上述筛分后，在每个∏p中剩余数字对数为6∏()p−2。x个∏p区ppxe≤(),ppxe≤(),ppxe≤(),p;3x间数字对数为26∏()p−。平均每一个X区间数字对数为ppxe≤(),p;3xpp−1-2xxp-2pp−1-2命∏∏=xwxe(,)∏∏=∏2p≤3ppppxe≤(),62ppxe≤≤(),,pp≤3ppppxe()ppxe≤(),p;3pp;;33ppxe≤(),则()1pp−12−（1-8）wxe,

8、=∏∏2pp≤33pp;ppxe≤≤(),,ppxe()定义8我们把wxe(,)称为孪生素数（或双生素数）的台阶系数。把xwxe(,)称为孪生素数的诸X区间数字对数平均值。孪生素数的台阶系数wxe(,)具有以下性质：（1）wxe(,)是非负有界函数0≺wxe(,)≤0.25（1-9）（2）wxe(,)是单调递减函数wxe(,1)≺≺wxe(,)wxe(,1−)（1-10）（3）当x→∞时wxe(),