素数分布基本定理及其应用

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1、素数分布基本定理及其应用作者姓名：弯国强E-mail：408073346@qq.com数学是科学的皇后；数论是数学的女王。整数是数论的基础；素数是整数的精髓。摘要：本文深刻揭示了素数分布的规律，给出了素数分布基本定理，证明了世界上的几个著名猜想。它们分别是勒让德猜想，伯兰特猜想，奥波曼猜想，罗卡尔猜想，W.H米尔斯猜想，孪生素数猜想，哥德巴赫猜想。关键词：素数、素数分布基本定理、勒让德猜想、伯兰特猜想、奥波曼猜想、罗卡尔猜想、W.H米尔斯猜想、哥德巴赫猜想素数在纯数学中是一个使数学家迷恋的字眼，它是那么简单，又是那么神秘。说它简单是因为它是整数的基石，既便是上过小学的

2、学生都知道什么是素数；但是它又那么神秘，从古至今，多少数学家都想弄明白它的规律，却始终无法弄明白它的分布规律是什么。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。素数分布就像一首神奇的乐章，美妙动听，引诱着一代又一代的数学家为了研究明白它的分布规律而殚精竭虑，费尽心机，可是至今仍没有一个数学工作者真正清楚素数分布的规律是什么？研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。人们研究问题常用的一个基本思想，就是从最简单的问题着手，并将复杂的问题转化为简单的问题去处理。对素数分布的研究也需要按照这个方法进行才能透砌地理解素数的实质。素

3、数分布基本定理素数判定定理1：“若正整数n不能被不超过n的任何素数整除，则n是素数。”素数分布基本定理2：“正整数列1、2、……、n，从1开始每隔⎡n⎤个数分一段，设⎣⎦p,,,pp""是不超过n的所有素数。12mI、第一分段中p,,,pp""的倍数个数不小于任何一个分段。12mII、在正整数列1、2、……、n内，每一个完整分段至少有一个素数。证明：I、设1、2、……、n是第1分段，p,,,pp""是不超过n的所有素数。根据容斥12m定理，第1分段中p,,,pp""的倍数的个数为：12m⎡⎤mm⎡⎤⎡⎤⎡m⎤⎢⎥nnnm−1n∑∑∑⎢⎥−+⎢⎥⎢⎥+""+()−1⎢m

4、⎥ii=<1⎣⎦ppiiji⎢⎥⎢⎣⎦⎣ppji

5、=p，那么第1分段中有q个p的倍数。i⎣⎦⎣⎦ii我们按正整数p把正整数分段，可以把第1分段中的数刚好分为q段。以此类推，可以得i到第r分段中的数也刚好分为q段，每一个分段末尾的数刚好就是p的倍数。这就是说第ri⎡n⎤段中pi的倍数正好就是q个。即第r段中pi的倍数正好就是⎢⎥个，ABii=，p⎣i⎦⎡⎤nB=⎢⎥。对于其它素数，第r段中素数p倍数的个数最多为ikp⎣⎦i⎡⎤n⎡n⎤⎢⎥+≠≤1,()kikm,1≤，ABkk⊂，Bk=⎢⎥+1。因此，根据组合意义就是从mpp⎣⎦k⎣k⎦⎡⎤n个素数中任意取一个，又因为pi⎡⎤⎣⎦n，所以⎡⎣n⎤⎦个连续正整数中，刚好有

6、⎢⎥个数p⎣⎦i1能被p整除，不再加1，故可以得公式C−1。同理，可以得到第r段中素数的倍数最多为：immmmmmm−1∪∩Bi=−∑∑BBiij∩∩BB+∑ijkB∩B−−""()1Bii=1ii=<1ji

7、"+()−1⎢m⎥ii=<1⎣⎦ppiiji⎢⎥⎢⎣⎦⎣ppji