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1、数值计算方法：研究怎样利用计算工具求出数学问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析计算的全过程。构建一个完整的数值算法，包含着以下环节：1.提出数值问题（即对对象建立数学模型）2.构思处理数值问题的基本思想（即提出理论）3.列出计算公式4.设计程序框图5.编制源程序并调试6.做出算法的误差分析从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有：1、数据点的插值2、曲线拟和3、复杂函数的微积分运算4、非线性方程f(x)=0的根的求解5、当n很大时线性方程组AX=B的求解6、常微分方程的求解参考书籍的几种名称：1、数值分析2、数值计算原理3、计算方法4、算法设计5、计算机数值计算方法与
2、程序设计数值计算中的误差1、误差的种类和来源①模型误差②观测误差③截断误差④舍入误差2、误差的有关概念：①绝对误差：真值近似值②绝对误差限：③相对误差：④相对误差限：相对误差限的概念在实际计算中,由于ε(x)与x都不能准确地求得,因此相对误差εr(x)也不可能准确地得到,我们只能估计它的大小范围。即指定一个适当小的正数η，使
3、εr(x)
4、=
5、ε(x)
6、/
7、x*
8、≤η称η为近似值x*的相对误差限。当
9、εr(x)
10、较小时，可以用下式来计算η：η=ξ/
11、x*
12、有效数字为了既能表示近似数的大小，又能表示近似数的精确程度，我们下面介绍有效数字的概念（注意：有效数字既能表示近似数的大小，又能表示近似数的精
13、确程度）。半个单位的概念我们知道，当x有很多位数字时，常常按照“四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值x*。例1设x=π=3.1415926…取x1*=3作为π的近似值,则
14、ε1(x)
15、=0.1415…≤0.5×100；取x2*=3.14，则
16、ε2(x)
17、=0.00159…≤0.5×10-2；取x3*=3.1416,则
18、ε3(x)
19、=0.0000074…≤0.5×10-4。它们的误差都不超过末位数字的半个单位。有效数字的概念定义3若近似值x*的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。准确数本身有无穷多位有效数字，
20、即从第一位非零数字以后的所有数字都是有效数字。有效数字举例如例1中的x*1，x*2,x*3,分别有1,3,5位有效数字。实际上，用四舍五入法取准确值x的前n位（不包括第一位非零数字前面的零）作为它的近似值x*时，x*有n位有效数字。例2设x=4.26972，则按四舍五入法，取2位，x1*=4.3有效数字为2位,取3位，x2*=4.27,有效数字为3位，取4位，x3*=4.270，有效数字为4位。特别注意近似值后面的零不能随便省去，如例2中4.27和4.270，前者精确到4.27,有效数字为3位，取4位，x3*=4.270,有效数字为4位。可见,它们的近似程度完全不同,与准确值的最大误差也完全不
21、同。有效数字和绝对误差的关系定义3换一种说法就是：设x的近似值x*=±0.a1a2…an…×10p若其绝对误差
22、ε(x)
23、=
24、x－x*
25、≤0.5×10p-n则称近似数x*具有n位有效数字。这里p为整数，a1,a2,…,an是0到9中的一个数字且a1≠0。例如，若x*=0.23156×10-2是x的具有五位有效数字的近似值，则绝对误差是
26、x－x*
27、≤0.5×10-2-5=0.5×10-7定义3或式
28、ε(x)
29、=
30、x－x*
31、≤0.5×10p-n建立了绝对误差(限)和有效数字之间的关系。由于n越大，10p-n的值越小，所以有效数字位越多，则绝对误差(限)越小。有效数字与相对误差的关系定理1若近似数x
32、*具有n位有效数字，则其相对误差为
33、εr(x)
34、≤1/(2×a1)×10-(n-1)其中a1≠0是x*的第一位有效数字。定理1说明有效数字位越多,相对误差(限)越小。定理2形式如x*=±0.a1a2…an…×10p的近似数x*，若其相对误差满足
35、εr(x)
36、≤1/[2×(a1+1)]×10-(n-1)则x*至少有n位有效数字。由此可知，有效数字位数可刻画近似数的精确度，相对误差(限)与有效数字的位数有关。有效数字与相对误差关系举例注意从并不能保证x*一定具有n位有效数字。如x=sin29020´=0.4900设其近似值x*=0.484,其相对误差为我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为x
37、-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005即可知近似值x*并不具有两位有效数字。实际上,x*只有一位有效数字。
38、εr(x)
39、≤1/(2×a1)×10-(n-1)数值运算中误差的影响要分析数值运算中误差的传播，首先就要估计数值运算中的误差。数值运算的误差估计情况较复杂,通常利用微分来估计误差。二元函数设数学问题的解y与变量x1,x2有关,y=f(x1,x2)。若x1,x2的近似值为x
