数值计算方法chap1误差.ppt

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1、第一章误差抽象简化实际问题数学模型问题近似解数值计算数值方法求解数学问题的过程§1.1误差的来源和分类模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差.观测误差：由观测所产生的数学问题（模型）中参量（数据）的误差.截断误差：数学问题的准确解与数值方法所求得的近似解之差.舍入误差：计算过程中对数字的舍取所产生的误差.（计算机可以表示的数是有限的）1.2.1绝对误差与相对误差§1.2绝对误差、相对误差和有效数字例：例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过5cm,宽的误差不超过2cm,如何表示？哪一个精度高？相对误差：相对误差限：两种误差限的关系：1.2.2有效数

2、字例如准确到小数点后第6位，有4位有效数字.具有7位有效数字，其误差限有效数字和绝对误差限的关系（准确到哪一位）§1.3数值计算中误差的传播1.3.1基本运算中的误差传播特别地，和、差、积、商的误差公式为：即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差极限不超过各数的相对误差限之和.1.3.2算法的数值稳定性算法：预先设计计算问题近似解的运算顺序稳定性：在按一个算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是稳定的；否则称算法是数值不稳定的.算法Ⅰ依次计算近似值.n(算法Ⅰ)00.1823215510.0883922520.0

3、580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831估计算法Ⅱ由于取按公式计算例如n(算法Ⅱ)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.0

4、1536914110.01406339120.01301636130.01184127140.01222222分析什么原因：由算法Ⅰ对算法Ⅱ关于数值稳定性的算法一个程序往往要进行大量的运算才能得出结果，每一步的运算都可能会产生舍入误差。在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法；否则，就称之为不稳定的算法。§1.4数值计算中应注意的问题1.4.1.避免两个相近的数相减两数之差x-y的相对误差为一般地，当x充分大时，应作变换：当接近零时，应作变换例：如用四位有效数字计算:结果只有一位有效数字;如改为:有四位有效数字。避免了两个相近数的相减。

5、例：用四位浮点数计算解:只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差扩大。结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的重要性。1.4.2.避免大数“吃”小数.计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数。如，必须改写成如果计算机只能表示8位小数，则算出，大数“吃”了小数。这种情况有时允许，有时不允许。例如:被大数吃掉了。如按,就没有被吃掉。这也是构造算法时要注意的问题。例:一元二次方程x2－(109+1)x+109=0其精确解为x1=109,x2=1。如用求根公式:和8位的计算机求解,有及;则的值与精确解差别很大。若用

6、因此,算法的选用很重要。1.4.3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值,当时,舍入误差会扩大。例:的舍入误差均为,而,则的舍入误差为:很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。1.4.4.简化计算，减少运算次数，提高效率例如计算ln2的近似值，要求误差不超过算法Ⅰ:由绝对误差限由得算法Ⅱ绝对误差限由得又如计算n次多项式的值需2n-1次乘法运算，n次加法运算，2n+1个存储单元需n次乘法运算，n次加法运算，n+2个存储单元1.4.5.选用数值稳定性好的算法.问题：什么叫数值稳定性好的算法？舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,稳定性好指的是误差

7、可控范围可以很小。介绍MATLABmatlab语言是由美国的CleverMoler博士于1980年开发的设计者的初衷是为解决“线性代数”课程的矩阵运算问题取名MATLAB即MatrixLaboratory矩阵实验室的意思MATLAB已经不仅仅是一个“矩阵实验室”了，它集科学计算、图象处理、声音处理于一身，并提供了丰富的Windows图形界面设计方法MATLAB语言是功能强大的计算机高级语言,它以超群的风格与性能风靡全世界,成功地应用于各工程学科的研究领域作业：P10:4，7，9，11，12上机作业P11:14