计算方法数值计算的误差ch

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1、第一章数值计算的误差计算方法1主要内容误差的来源几个基本概念误差估计数值稳定性/误差的传播与积累数值计算中的一些注意事项绝对误差、绝对误差限/误差限相对误差、相对误差限有效数字2误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科学计算中的一个十分重要的概念误差的来源数值计算的误差从实际问题中抽象出数学模型——模型误差通过测量和实验得到模型中的各种数据——观测误差数学模型的数值求解——截断误差（方法误差）机器字长有限——舍入误差在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差

2、，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响3误差举例例：近似计算解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4取则称为截断误差4误差举例保留小数点后4位数字舍入误差5绝对误差：绝对误差x—精确值x*—近似值则称*为绝对误差限/误差限若存在一个正数*，使得工程上通常记为：x=x**

3、e*

4、=

5、x*-x

6、*绝对误差可能取正，也可能取负绝对误差越小越具有参考价值但绝对误差却不能很好地表示近似值的精确程度6相对误差Icantellthatthispart’sdiameteris20cm0

7、.1cm.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalueIcantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.7相对误差相对误差：x*-xer*=x若存在正数r*，使得

8、er*

9、r*，则称r*为相对误差限由于真值难以求出，通常也使用下面的定义作为相对

10、误差x*-xer*=x*近似值的精确程度取决于相对误差的大小实际计算中我们所能得到的是误差限或相对误差限8有效数字有效数字：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，且该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字x*=a1.a2···an10m(a10)且有

11、x-x*

12、0.510m-n+1则x*有n位有效数字设x*为x的近似值，若x*可表示为等价描述9有效数字例：=3.14159265···，近似值x1=3.1415，x2=3.1416问：x1,x2分别有几位有效数字？例

13、：写出下列各数的具有5位有效数字的近似值187.9325，0.03785551，8.000033187.93，0.037856，8.00004，5注：数字末尾的0不可以随意添加或省略！10有效数字思考：设x*=a1.a2···an10m(a10)，且

14、x-x*

15、0.510k则x*有m+1-k位有效数字?11有效数字定理：设近似值x*可表示为x*=a1.a2···al10m(a10)，若x*具有n位有效数字，则其相对误差限满足1r*2a110-(n-1)反之，若x*的相对误差

16、限满足则x*至少有n位有效数字。1r*2(a1+1)10-(n-1)有效位数越多，相对误差限越小（证：自学）12误差估计误差估计：估计误差限和相对误差限记(x*)为x*的误差限，则有(x1*x2*)(x1*)+(x2*)(x1*x2*)

17、x2*

18、(x1*)+

19、x1*

20、(x2*)(x1*/x2*)

21、x2*

22、(x1*)+

23、x1*

24、(x2*)

25、x2*

26、213误差估计设一元函数f(x)可微，x*为x的近似值，则有r(f(x*))条件数记为Cp14误差估计设多元函数f(

27、x)可微，x*=(x1*,x2*,,xn*)为x=(x1,x2,,xn)的近似值，则有(f(x*))15数值稳定性误差的传播与积累：原始数据的误差导致最终结果也有误差的过程称为误差的传播例：近似计算，其中n=1,2,...,8解：此公式精确成立易知保留3位有效数字16数值稳定性可得但显然有?Whathappened?!????17数值稳定性考察第n步的误差即有误差以5倍的速度增长！我们需要改变算法!说明该计算过程是不稳定的！18数值稳定性解法二：具体思路：先估计一个SN，再反过来

28、求Sn(n

29、x

30、<<1时：例：教材第11至12页，例7，8，9，1021数值计算注意事项避免数量级相差很大的数相除可能会产