Ch04：数值计算方法之函数增量的计算方法课件.ppt

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1、第4章函数增量的计算方法本章致力于解决基本初等函数y=f(x)在x0处的Δx增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)以及与之伴随的增量比当Δx充分小的时候的精确计算方法。本章的所得到的结论是：对多项式函数以及所有的基本初等函数，均可找到特殊的方法直接得到增量比Δy/Δx的精确值，接下来再用它乘以Δx而得到Δy的精确值。注意到基本初等函数在数学中的特殊作用，本章实际解决了初等函数的增量和增量比的精确计算问题，从而填补了以前这个领域内留下的真空。4.1引言连续函数y=f(x)在x0处的Δx增量和增量比可以表示

2、为他们也是科学计算领域中经常遇到的问题。求解这类问题的困难在于，首先，由于x0和Δx的数量级相差较大，它们相加会使得Δx失去相应的有效数字位数；其次，当Δx充分小时，由于f(x0+Δx)与f(x0)的值充分接近，所以它们相减又会产生较大的误差。4.1引言为了比较彻底地解决这个问题，可以先解决基本初等函数的增量计算问题，并编写出相应的直接求增量和增量比的子程序，接下来再解决复合函数以及函数的四则运算的增量的计算方法，这样就可以像编程计算初等函数值一样来编程计算初等函数的增量。这样做可以为以后进一步求解一些

3、重要的工程问题和数学问题带来很大的方便。4.2二次根式函数增量的计算方法对任意实数x0>0以及适当给定的Δx，记将上面两式的分子有理化，我们不难得到4.2二次根式函数增量的计算方法(续)利用上面的结果，我们可以立即得到计算二次根式函数的理想方法：按上面两式编程是很容易的，完整的源代码见教材第83页程序4.01A。提示：如何进一步根据案例计算的结果来验证方法的有效性在这里好像遇到了难题，因为在一般情况下找不到更好的结果作比较。请大家认真阅读教材４.２.３和４.2.4两小节，认真理解这里的思路。4.3三角函

4、数增量的计算方法利用三角函数的和差化积公式，我们不难把正弦函数和余弦函数的增量化为积的形式，从而可以避免令人讨厌的减法运算。但实际上我们可以把事情做得更好一些：正弦函数和余弦函数的增量比均可表为一个容易计算的系数函数与sin(u)/u类型的函数的积，而且这里的u还非常接近零，从而可以利用第3章中的代码来计算sin(u)/u，从而最终解决说有的三角函数的增量与增量比的精确计算问题。1利用和差化积公式计算设x0，Δx都是适当给定的实数，而且Δx充分小，为了计算sin(x)和cos(x)在x0处的Δx增量和增

5、量比，利用三角函数的和差化积公式我们有从而可以避免不利的运算。2.正弦函数增量比的计算方法实际上，我们可以首先直接计算增量比，再进一步利用增量比来计算增量，效果还会更好一些。记利用上面的结果，并记u=Δx/2，我们有由于第三章完全解决了sin(u)/u的数值计算问题，所以我们这里的问题也完全解决了。3.余弦函数增量比的计算方法记同样利用前面的和差化积所到处的结果，并记u=Δx/2，我们有所以我们这里的问题也得到圆满的解决。4．正切函数的增量的计算方法对适当给定的x0和Δx，对于计算正切函数的增量来说，经

6、过简单的数学处理，我们不难得到记我们立即有5．余切函数的增量的计算方法对适当给定的x0和Δx，记我们不难得出余切函数增量的计算公式：6．sin(u)/u的数学解释对于适当的u，注意到sin(u)/u可看成是sin(x)在x=0处的u增量比所以我们采用统一的记号把它记为利用泰勒展式求数值解的源代码见教材第90页程序4.03。对任何一个连续可微的实函数f(x)，如果我们得到了它在x=x0处的泰勒展式，那么我们不难直接利用泰勒展式求f(x)在x=x0处的Δx增量比。4.4对数函数增量的计算方法记LOG(x)为

7、数学中的以e为底的对数函数lnx，利用我们习惯的记号，LOG(x)在x0处的Δx增量和相应的增量比可以记为DLOG(x0,Δx)=LOG(x0+Δx)-LOG(x0)DQLOG(x0,Δx)=[LOG(x0+Δx)-LOG(x0)]/Δx虽然利用对数函数的性质可以得到DLOG(x0,Δx)=LOG(1+Δx/x0)DQLOG(x0,Δx)=LOG(1+Δx/x0)/Δx在许多情况下也能得到非常理想的结果，但还是存在一些问题。1.问题的提出当

8、u

9、充分小时，对于计算ln(1+u)的数字结果这个数学问题来说

10、，由于数学问题的条件数会变得充分大，所以u的较小的相对误差会导致ln(1+u)的较大的相对误差。利用流行的程序设计语言提供的库函数来计算，不难验证，这个问题依然普遍存在。利用第3章程序3.14来计算，令a=1+u，那么程序中计算x=(a-1)/(a+1)也是非常不利的运算。所以，如果有效地解决了当

11、u

12、充分小时ln(1+u)的精确计算问题，那么第3章的遗留问题和我们这一节所要解决的问题都得到解决。2．重温第三章的相关结论当

13、x

14、适当小时(比