Ch02：数值计算方法之误差分析ppt课件.ppt

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1、第2章误差分析提示：当我们利用计算工具进行数值计算时，我们所进行的几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的。所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。定义设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称x*-x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。与误差作斗争是计算方法研究中的永恒的主题，要消除误差，我们应该知道误差产生的原因以及在数值计算过程中误差的传播。由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是作最基本的介绍。2.1误差的来源误差的来源是多方面的，

2、但主要来源为：过失误差，描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。过失误差是由设备故障和人为的错误所产生的误差，在由于每个人都有“权利”利用机器进行数值计算,所以在计算方法研究领域应当强调怎样有效避免过失误差。我们的计算方法对于如何消除描述误差,观测误差和舍入误差无能为力，但是应当考虑尽量消除这些误差对计算结果的影响，也就是减少误差的传播。截断误差是计算方法本身所产生的误差，所以在我们的课程中，重点还是考虑尽可能消除截断误差。与截断误差密切相连的数学知识是泰勒展式，以后我们经常会利用泰勒展式来消除截断误差。1.过失误差过失误差通

3、常是指由于设备的故障和人为的错误所导致的误差，比如物理设备在恶劣的工作环境下可能会是某些性能指标变坏，原始数据纪录错误，原始数据输入错误等。现在，由于计算机的普及，人人都可以自己变程序利用机器计算，所以产生过失误差的机会实际上大大增多了，所以“如何有效避免过失误差”的问题实际上也变得更加重要了。比如求一元二次方程ax2+bx+c=0的根，如果利用公式编程计算，由于存在着同号两数相减的运算，所以在特殊情况下会产生较大误差而使得计算结果失去了意义。这个问题将在下一章得到彻底解决。2.描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问

4、题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。举例：假设一门大炮的炮筒与水平面的夹角为θ，所发射的炮弹的出口速度为v0,那么t秒钟后炮弹的位置可表示为在这个模型中，我们忽略了空气的阻力。对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。3.观测误差定义：描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。举例：在上面的描述炮弹运动方程的数学模型中，我们用到了重力加速度g，它在地球表面

5、的不同位置以及不同高度的值是不同的，我们可以通过实验测出它的近似值，但无法得到它的准确值，所以求解具体问题时，就避免不了观测误差。提示：我们平时用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，所以读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。提示：即使是一些高精密度的数字化仪表，所显示出来的测量结果的最后一位数字是不可靠的。4.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。我们可以作一个小试验来感受由于计算工具的局限性所

6、产生的舍入误差：编一个最简单的C语言程序，定义单精度浮点型变量X,设初值为0.123456789，再用9位小数的形式显示出来，我们会发现，输入的数和输出的数之间存在误差，这就是舍入误差。提示：过去的计算工具落后，所以舍入误差也较大，现在我们在计算机上用双精度浮点数计算，可以得到15位有效数字，这是以前很难达到的精度。5.截断误差定义：假如真值x*为近似值系列{xn}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个xN作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。注释：由于非初等函数值的计算在很多情况下要用到逼近

7、法或迭代法，都与取极限有关，所以对截断误差的分析在计算方法课中有特别重要的地位。提示：对任意一个极限过程，我们总可以构造一个相应的无穷级数。比如：若an→a,则a0+(a1-a0)+(a2-a1)+…→a,所以，我们总可以把截断误差理解为一个无穷级数，特别是函数的泰勒展式，的余项。补充：利用泰勒展式说明截断误差不失一般性，设f(x)可以在x=0处展开为泰勒级数，那么我们有f(x)=a0+a1x+a2x2+…当N充分大时，我们可用fN(x)作为f(x)的近似值，此时RN(x)就是截断误差。比喻：我们可以把函数的泰勒展式看成是一个

8、有无限多个节的竹竿，如果要利用它，可以截取前面的N+1节作为有用之材，后面扔掉的部分就是截断误差。2.2误差基本概念可以说，与误差有关的最基本的概念是绝对误差和相对误差，我们在小学，中学以及大学里的其它课程中都反复学习过。在绝大多数情况下，某个量的近似值的绝对误差以及相对误差