《数值分析误差》PPT课件

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1、北京工业大学应用数理学院数值分析(计算方法)第一章：误差主要内容误差的来源与分类误差与有效数字在近似计算中应注意的几个问题1.来源与分类(Source&Classification)模型误差参数误差(观测误差)方法误差(截断误差)舍入误差1.1模型误差(ModelingError)用计算机解决实际问题时，首先要建立数学模型，各种实际问题是十分复杂的，而数学模型是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，往往忽略了一些次要因素，因而是近似的，我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。如自由落体公式忽略了空气阻力。数学模型中的物理参数的具体

2、数值，一般通过实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有误差，这种误差称为参数误差或观测误差。例如前例中的重力加速度g=9.8米/秒，这个数值是由多次实验而得到的结果实际的值有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。1.2参数误差(观测误差，MeasurementError)1.3方法误差(截断误差TruncationError）在数学模型（包括参数值）确定以后，就常要考虑选用某种数值方法具体进行计算，许多数值方法都是近似方法，故求出的结果与准确值之间是有误差的，该误差称为截断误差或方法误差。例如，函数f(x)用Taylor多项式近似代替，则数值方法的

3、截断误差为：对于参与计算的数据用计算机做数值计算时，所计算数据的位数可能很多甚至可能有无穷多位，而计算机的字长有限的，因此只能对有限位进行计算，原始数据和计算结果在计算机上表示均用4舍5入或截去的方法进行处理，这种误差称为舍入误差。例如用近似代替π，产生的误差：即4舍5入产生的误差就是舍入误差。1.4舍入误差(RoundingError）1.5各种误差产生的时机实际问题数学模型数学方法求解过程计算结果模型误差参数误差截断误差舍入误差舍入误差会产生积累，其他三种误差没有积累。2.误差与有效数字(ErrorandSignificantDigits)如果x

4、*为x的近似值,称e*=x-x*为绝对误差。绝对误差往往是未知的，而只知道它的一个上限，此上限

5、e*

6、=

7、x-x*

8、记为ℇ*,称为绝对误差限(accuracy)。工程上常记为x=x*±ℇ*，例如绝对误差(absoluteerror)相对误差(relativeerror)称为近似值x*的相对误差；的绝对值的上界称为相对误差限，即绝对误差限与相对误差限的关系有效数字(SignificantDigits)在实际计算中,经常按四舍五入原则取近似值.例如:它们的误差都不会超过末位数字的半个单位,即定义1.2.5设x为准确值,x*为x的近似值，记x*=±0.a1

9、a2…an×10m(其中a1≠0),若

10、x-x*

11、≤0.5×10m-n(即an的截取按四舍五入规则)，则称x*有n位有效数字，精确到10m-n。例如π=3.1415926535897932…，如果取π*=3.1415，问π*有几位有效数字？证明：π*=0.31415×101

12、π-π*

13、=0.0000926…≤0.5×10-3=0.5×101-4所以π有4位有效数字,精确到小数点后第3位。可以证明π*=3.14159有6位有效数字。有效数字愈多愈精确当两个相近的数相减时，会大大的损失有效数字的位数，使得相对误差会变得很大。3在近似计算中应注意的几个问题

14、3.1做减法要避免两个相近的数相减解：x-y=1.5846-1.5839=0.0007x，y的有效数字是5位，而x-y的有效数字却只有1位，这样使得有效数字的位数大大的减少了。例1:已知x=1.5846,y=1.5839,求x-y例2.已知x=18.496,y=18.493取4位有效数字计算x-y的近似值，并估计其相对误差.而x-y=18.496-18.493=0.003其相对误差为解：取x*=18.50，y*=18.49进行计算得x*-y*=18.50-18.49=0.01可以看到相对误差比较大.例如，当x很大时和很接近，直接计算就会大大的损失有效

15、数字，此时应把公式变形，分子、分母同乘一个共轭根式，即在编程序时，可采取以下措施：1).对参加运算的量多保留几位有效数字；2).变换计算公式，这样求出的结果就比较准确。又例如，当x1与x2很接近时，lnx1-lnx2就可能损失有效数字过多，一般变形为：这样求出的结果就比较准确。分母的值就变的很小，一般应变形为:3.2做除法运算时作分母的量不要太小例如，计算时，会使的绝对误差变的很大，一般遇到这种情况把公式变形,例如当

16、x

17、非常小时，使用此公式就比较可靠。若绝对值相差很大的两个数做加，减法运算时绝对值较小的数往往被绝对值较大的数“吃掉”，绝对值较小的值

18、不能发挥作用，影响计算结果的准确性。3.3防止大数“吃掉”小数例3求方程x2-(109+1)x+109=0的