平稳随机过程和各态历经过程.ppt

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1、2.2平稳随机过程和各态历经过程2.2.1严平稳过程2.2.2宽平稳过程2.2.3各态历经过程2.2.4平稳随机过程的相关性分析12.2.1严平稳过程一个随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即对任意的正整数n和所有实数τ，随机过程X(t)的n维概率密度函数满足：fX(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)=fX(x1,x2,···,xn;t1+τ,t2+τ,···,tn+τ)则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义的平稳随机过程）。严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。1、定义22、

2、性质（1）严平稳随机过程的一维分布与时间t无关。f1(x1,t1)=f1(x1)32、性质二维分布只与时间间隔τ=t2-t1有关，即有f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)43、严平稳的判断(1)若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。(2)若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0，X(t0)具有相同的统计特性。按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：5若随机过程X(t)满足则称X(t)

3、为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。2.2.2宽平稳过程1、定义6例1某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。例题7解：X(t)的数学期望为例题8X(t)的自相关函数为例题9X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关，所以X(t)为广义平稳随机过程。例题102.2.3各态历经过程对平稳随机过程，如果它的统计平均值等

4、于它的任意一次实现（样本）的时间平均值，即：称平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)，X(t)称为广义各态历经过程，简称各态历经过程。1、定义112.2.3各态历经过程具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程却不一定都具有各态历经性。各态历经的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。12例2某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。讨论X(t)是否具有各态历经性。例题13例题解：X(t)的时间平均为：X(t)的时间相关函数：14比较统计

5、平均（例1）与时间平均，得mX=R(τ)=因此，随机相位余弦波是各态历经过程。例题15一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。3、各态历经过程和平稳过程的关系各态历经过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是各态历经的。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知）2、应用164、各态历经过程的两个判别定理(1)均值各态历经判别定理平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性充要条

6、件(2)自相关函数各态历经判别定理式中：17对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为注意：判断一个平稳过程是各态历经的的，总是先假设其是各态历经的的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率1等于统计平均），一般不用两个判别定理。(3)18证：=19设则20于是从而命题得证。212.2.4平稳过程的相关性分析1.自相关函数的性质设X(t)为实平稳的随机过程：⑴R(0)=E[X2(t)]=S[X(t)的平均功率]证明：22⑵R(τ)=R(-τ)[R(τ)是偶函数]证明：23⑶

7、R(τ)

8、≤R(0)

9、[R(τ)的上界（上限）]证明：E[X(t)-X(t+τ)]2≥0E[X(t)]2+E[X(t+τ)]2≥2E[X(t)]E[X(t+τ)]2R(0)≥2R(τ)同理，E[X(t)+X(t+τ)]2≥0可推出2R(0)≥-2R(τ)24⑷R(∞)=E2[X(t)]=mX2[X(t)的直流功率]证明：τ→∞时，X(t)与X(t+τ)统计独立，无依赖关系。25⑸R(0)-R(∞)=σ2[方差，X(t)的交流功率]平均功率-直流功率=交流功率E[X2(t)]-[EX(t)]2=D[X(t)]262、相关系数此值在[－1，1]之间。表示不相关，表示完全相

10、关。表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。自相关系数27当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认