随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述

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1、首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n(二1,2•••),rpr2,---,gT和任意实数h,当/[+/2』2+力,…,/“+艇0时,n维随机变量(X(/,),X(r2),-,X(rn))和(X(/,+/?),X(r2+/7),…，X(/”+/?))具有相同的分布函数，则称随机过程{X(t),twT}具有平稳性，并同时称此过程为平

2、稳随机过程，或简称平稳过程。在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一、二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样木函数或一个样木函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。定义设X(t)是均方连续平稳

3、随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值＜x(t)〉存在，即＜X(t)〉二lim丄rX⑴dt存在，而且＜X(t)〉=E{X(t)}二"x依概率1和等。即〈X(t)〉依概率1等于心二E{X(t)},“x代表随机过程的集平均(或称统计平均)，则称该过程的均值具有各态历经性。定义设X(t)是一均方连续平稳随机过程，且对于I古I定的厂，X(/+刃X(D也是连续平稳随机过程，〈X(f+T)X(f)〉代表X(r+r)X(r)沿整个时间轴的平均值,即若〈X(r+刃X(r)〉存在,称〈X(r+刃X(f)〉为X(r)的时间相关函数。又〈X(r+/)X(r)〉DE{X(r+r)X(r)}=/?x(

4、r)则称该过程的自相关函数具有各态历经性。定义如果X(t)是一均方连续的平稳随机过程，且其均值和自相关函数均具有各态历经性，则称该过程X(t)为具有各态历经性的，或者说X(t)是各态历经的，或是遍历的。例一有随机相位正弦波过程X(1)二Acos伽+&),其中A,⑵是常数，0为[0,2口]内均匀分布的随机变量。试计算它的时间平均值和时间相关函数；问该过程是否具有各态历经性？解〈X(t))=lim丄「Acos(血+&)dftt827*J-卩Asin697cos&limL>2afTcos(0f+初•+&)cos(妙+0)dt]严A?=lim————[cos(2血+砂+20)+coscor]d

5、t"82T2~2COSCOT=E{X(t)}=因为X(t)的集平均值和集相关函数分别为因此随机相位正弦波过程具有各态历经性。例二设X(t)=X,-oo

6、.m—「Xdt=X'/tt+82Ttt+82T时间相关函数〈顾X(t+选=1,i(.in丄J：顽X(r+r)dt=1・i.Ill丄J：X2力=X214由于P(X=2)二1和P(X2=—)=1不成立，故，｛X(t),-8〈t〈+s｝的均值和3相关函数不具有各态历经性。为了对平稳过程的各态历经性有充分的认识和了解，我们引入以下儿个定理进一步说明一个平稳过程该满足怎样的条件才是各态历经的。定理的证明过程不做解答。定理一(均值各态历经定理)平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是舸律f(l-寿)=0定理二(自相关函数各态历经定理)平稳过程X(t)的自相关函数心(C具有各态历经性的充要条

7、件是0,(1)M7(1_守)［旳)-用(刃］"其中B(G=E［xa)xa+Q)xa+£)xa+f+G］。在(1)式中令&二o,就可以得到均方值具有各态历经性的充要条件。在实际应用过程中通常只考虑定义在OWtW+s上的平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以0WtW+8上的时间平均来代替。而相应的各态历经定理可表示为下述形式：定理三丿竺£j；X(M=E［X(/)］=心(2)以概率1成立的充要条件是丿竺#［(1-卡)［心(刃-"；］必=0定理四lim