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时间:2020-02-01
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1、各态历经性的引言如果我们能对过程{X(t)}进行多次重复观察从而得到多条样本曲线用统计方法可以估计其均值及自相关函数在实际中,常用如下的方法确定μx及Rx():其中T充分大,X(t)是{X(t)}的一个样本函数。即:集平均(均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值代替。这样节约了大量的工作量,本节就讨论这种方法的理论依据。由于所采用的极限(收敛)的标准不同得到的遍历性定理也不同,关于平稳过程的遍历性主要有两类:(1)对强平稳过程在几乎处处收敛的意义下的遍历性定理;(2)对弱平稳过程在均方收敛的意义下的
2、遍历性定理;一、平稳过程遍历性的定义:首先引入平稳过程{X(t),-=E[X(t)]=μx以概率1成立,称{X(t)}的均值具有均方遍历性。(2).若,=E[X(t)X(t+)]=Rx()以概率1成立,称{X(t)}的自相关函数具有均方遍历性。(3).若(1).(2)均成立,则称该过程具有
3、均方遍历性,或称为遍历过程。问题:有没有这种遍历过程?例:计算随机相位正弦波X(t)=acos(t+)=a[costcos-sintsin]的时间平均和.解:已证此过程为平稳过程。与第一节中集平均得到的结果相同。即:用时间平均和集平均算得的均值和自相关函数相同。但并不是任意一个平稳过程都是具有遍历性的。例如:平稳过程X(t)=Y,Y是方差异于0的随机变量,就不是遍历的。事实上,===Y.即:时间均值随Y取不同的可能值而不同。因Y的方差异于0,这样就
4、不可能以概率1等于常数E[X(t)]=E[Y]。那么,一个平稳过程满足何条件才是各态历经的呢?下面的定理给出了结论。一、平稳过程遍历性的充要条件:(均值遍历性定理)均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性证明:由遍历性定义,只须证:与上式等价。其中,令,则推论1.均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性推论2.均方连续的平稳过程{X(t)},若满足,则它关于平均值具有均方遍历性X=0。证:因为2.(自相关函数遍历性定理)均方连续的平稳过程{X(t)},且对给定,{X(t)X(t+)}也是均方连续的平稳过程,则{X(t)}
5、关于自相关函数具有遍历性令=0,即得均值遍历性定理。在实际问题中,通常只考虑定义在0≤t<+∞上的平稳过程,此时上两定理所有时间平均应以0≤t<+∞上的平均代替,相应的各态历经性如下:1.{X(t)}关于均值具有遍历性2.{X(t)}关于自相关函数具有遍历性注:1.各态历经性定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证:一个平稳过程X(t),只要满足上述两条件,便可以从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和自相关函数。即:一、平稳过程的功率谱密度1.时间函数的能谱密度设x(t)(-6、数,且,由傅里叶变换理论:(1)设x(t)绝对可积,即且满足狄里克莱条件,则x(t)的傅里叶变换存在,且在x(t)的连续点处称为F()的傅里叶反变换。其中F()一般为复值函数,有(2)在x(t)和F()之间有巴塞瓦尔等式右边的被积函数7、F(ω)8、2相应地称为能谱密度,巴塞瓦尔等式即可看作总能量的谱表示式。记S()=9、F()10、2,则上式为:其中S()为偶函数。称S()为x(t)的能谱密度,称为x(t)的总能量的谱表示。2.时间函数的功率谱密度上面假定即x(t)的总能量有限,在实际问题中,大多数函数的总能量都是无限的,因11、而不能满足傅里叶变换条件,在工程技术中通常研究x(t)在(-12、)均方可积,故存在傅氏变换由巴塞伐等式有因为X(t)是随机过程,于是有上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的表示式。定义1:设{X(t),-∞
6、数,且,由傅里叶变换理论:(1)设x(t)绝对可积,即且满足狄里克莱条件,则x(t)的傅里叶变换存在,且在x(t)的连续点处称为F()的傅里叶反变换。其中F()一般为复值函数,有(2)在x(t)和F()之间有巴塞瓦尔等式右边的被积函数
7、F(ω)
8、2相应地称为能谱密度,巴塞瓦尔等式即可看作总能量的谱表示式。记S()=
9、F()
10、2,则上式为:其中S()为偶函数。称S()为x(t)的能谱密度,称为x(t)的总能量的谱表示。2.时间函数的功率谱密度上面假定即x(t)的总能量有限,在实际问题中,大多数函数的总能量都是无限的,因
11、而不能满足傅里叶变换条件,在工程技术中通常研究x(t)在(-12、)均方可积,故存在傅氏变换由巴塞伐等式有因为X(t)是随机过程,于是有上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的表示式。定义1:设{X(t),-∞
12、)均方可积,故存在傅氏变换由巴塞伐等式有因为X(t)是随机过程,于是有上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的表示式。定义1:设{X(t),-∞
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