π是无理数的证明.pdf

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1、π是无理数的证明大家都知道是无理数，但是它是如何证明的呢？我们下面就给出一个证明。首先给出一个定义。定义2min{0,cos0}，即是使cos0的最小正数的两倍。2按这个定义，利用定积分容易得到半径为r的圆的面积为r，因此这样的定义是合理的。下面证明是无理数。2利用反证法。设是有理数，则也是有理数，于是存在正整数p，q，使nN2ppp得。由于0（n），因此存在正整数N，使得1。qn!N!设f是如下定义的2N次多项式NNx(1x)f(x)，N!则f满足(k)k(k)f(x)f(1x)，f(x)(1)f(

2、1x)（k1,2,）。展开f的表达式得2N1nf(x)cnx。N!nN对其求导k次（0k2N）得2N(k)1nkf(x)n(n1)(nk1)cnx。N!nmax{N,k}(k)(k)k(k)(k)若0kN，显然f(0)Z，因此由f(x)(1)f(1x)，知f(1)Z；(k)k!(k)若Nk2N，显然f(0)ckZ，因此f(1)Z。N!NjNjj(2j)(k)(k)令F(x)(1)pqf(x)，则利用f(0)Z，f(1)Z得到j0F(0)Z，F(1)Z。进一步计算得NN2jNjj(2

3、j2)2jNjj(2j)F(x)F(x)(1)pqf(x)(1)pqf(x)j0j0N1Nj1Nj1j1(2j)jNj1j1(2j)(1)pqf(x)(1)pqf(x)j1j0NN(2N2)N11N2(1)qf(x)pqf(x)pf(x),(2N2)其中利用了f是2N次多项式，因此f(x)0。再令g(x)F(x)sinxF(x)cosx，则2N2g(x)[F(x)F(x)]sinxpf(x)sinx。1且F(1)F(0)[g(1)g(0)

4、]。利用Lagrange中值定理得，存在(0,1)，使得1NF(1)F(0)g()pf()sin。11由f的定义可知0f()，于是0f()sin，因此N!N!NNp0F(1)F(0)pf()sin1。N!但已经知道F(0)Z，F(1)Z，因此F(1)F(0)Z，与上式矛盾。这就证明了是无理数。