用反证法证明是无理数.doc

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1、用反证法证明是无理数据说最初发现是无理数的数学家是希腊人毕达哥拉斯，他找到一个证明方法证明不能表示成为，这里和是无公约数的正整数传说毕达哥拉斯太珍惜这个发现，不打算公开这个结果。他的学生之一为了好奇，悄悄走进老师的家里偷文件，这方法才被公开出来。我们下面介绍五个用反证法证明这结果，大家可以学习这种证明。假设，，是无公约数的整数。(1)毕达哥拉斯方法：将两边平方得，所以是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k＋1的平方后是4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1仍旧是奇数）。所以我们可以设p是2a的样子，代入上式得(2a)2＝2q2，即4a2=2q2两边同时消掉2

2、可得2a2＝q2，即q也是偶数。由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p，q无公约数产生矛盾，因此我们假设是有理数是不对的。(2)利用整数的个位数性质：我们知道任何整数平方其最后一位数是等于原数最后一位数的平方后的最后一位数。例如（12）2＝144，最后一位数4=（2）2。而（17）2=289，（7）2=49，最后一位数是一样。最后一位数可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。因此任何数的平方最后一位数只可能是0，1，4，5，6，9。因此2q2的最后一位数只可能是0，2或8。由于p2的最后一位数可能是0，1，4，5，6，9。而且由P2

3、=2q2，故必须有2q2最后一位数是0，因此推到q2的最后一位数是0或5。可是如果P2的最后一位数是0，而q2的最后一位数是0或5的话，则P的最后一位数是0，q的最后一位数是0或5，这样5就能整除p和q，这和p，q无公约数的假定矛盾。因此应该是无理数。(3)利用素因子的性质：由得，这里q要大于1，如果是等于1我们得＝p，这是个整数，明显是不合理的。现在我们可以得到，我们知道：（一）任何整数不是素数就是合数。（二）如果一个素数s能整除u×v，则必须是s能整除u或s能整除v.由整数的性质，我们知道由q＞1，存在一个素数s是q的约数。因此s能整除，故s能整除或.由这

4、两种情形推出s能整除p，因此我们得到s能同时整除p和q，显然这是不合理的。(4)用素因子的性质：由p2=2q2我们得q2=p2-q2＝(p+q)(p-q)由于q＞1，存在一个素数s能整除q，由此可知s能整除p+q或p-q。因此p+q=su或p－q=sv,但q＝St（t是某一个整数），因此由p+q=su，得p=s(u－t)，所以p，q有公共素因子s，这产生矛盾。(5)利用代数方程根与系数的关系：假定，则是代数方程x2-2=0的解，我们知道在代数方程a0xn＋a1xn-1…＋an＝0中如果有有理根，则r能整除an，s能整除a0.现在在x2-2=0中，a0＝1，a1

5、＝0，a2＝-2；既然是有理根，就有q能整除1，即q＝1，所以＝p是一个整数，明显这是不可能的。