证明圆周率pi与e是无理数.pdf

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1、证明是一个无理数a1nn证明如下：假定是一个有理数，（其中a,b1），作fxxabx，bn!24n2ngxfxfxfx1fx.2n124显然，fx0，并且有g''xfxfx.由此可知g''xgxfx，以及g'xsinxgxcosx'g''xgxsinxfxsinx在上式的两端对作0,上的积分，我们有fxsinxdxgg00因为我们有nn

2、a1aafxfxxabxfx，bn!bb2k2k2k2k所以得到fxfx，ff0，ff0，从而推出gg0是一个整数，也就是说fxsinxdx是一个整数。0nn1nna另外一个方面，由于0sinx10x，0xabx，我们得到：n!n!nna0fxsinx，从而导出n!nna0fxsinxdx.0n!这就引起了矛盾。□2补充证明是一个无理数证明如

3、下：首先，对于任意的nN，我们先作一个积分n212I2tcostdt，nn!4222则运用分部积分公式，得到递推公式I4n2II，由此可知IP，n1nn1n2其中P是次数之多为n的整系数多项式。n22p然后，我们用假设法反证是一个无理数。假设p,qN，我们有qnpnqPqI0nnq由于上式左端是正整数，而右端在n的时候是趋近于0的，这就引出了矛盾。注由此例也同样可以证明出是一个无理数。□证明自然对数e是一个无理数p证明如下：我们用反证

4、法，假设e是一个有理数，e（其中p,q1），而根据e的q1展开公式，我们可以对自然数q可以将e的无穷级数展开式写成两项之和。即从第一项到q!为第一部分，余下部分记为：qp111e1qq1!2!q!1由此可见，一定是的整数倍。qq!111（补充证明一个引理：n1!in1i！n!n11证明：是显然的，而n1!in1i111111111kin1i!n1!n2!n1!n2n2n1!11n

5、2n21这样就把引理证明完毕！）n1!n1n!n1由引理，得到的一个估计，有0，因此这是显然不可能的。□qqq!q