圆周率pi的BBP计算公式之详细证明

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1、GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.圆周率pi的BBP计算公式之详细证明1圆周率pi的BBP计算公式之详细证明RockinsChenUESTC,Chengdu4/6/2009[1,2,3]摘要：本文给出了用于计算圆周率pi的BBP公式的详细证明。主要是对文献的翻译和解释。关键字：圆周率piBBP公式1求解pi的历史第一个尝试严格计算p的人是公元前250年的阿基米德，他采用内接多边形和外切多101p3

2、法确定出的范围是717，换句话说就是3.1408...

3、Gregory-Leibniz公式简洁优美，但是可惜的是，这个公式中的级数收敛得非常慢，以至于仅需要计算p的小数点后两位有效数字时，就需要计算级数中的前面数百项。随后，一个和Gregory-Leibniz公式类似但是收敛速度快得多的公式被提了出来，这个公式要归功于Machin：-1-1p44tan(15)tan(1239)=-(3)1873年，Shanks采用Machin的方案将p计算到了小数点后707位，不过可惜的是，RockinsChenUESTC,Chengdu4/6/2009GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSof

4、twarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.圆周率pi的BBP计算公式之详细证明2后来发现Shanks的计算结果中第527位以后的数字是错误的。但这仍然是一个很大的进步。在不断追求计算更高精度p的过程中，一些和p有关的重要问题被解决了。17世纪晚期，Lambert和Legendre证明了p是无理数。1882年，Lindemann证明了p是超越数。Lindemann的证明彻底地解决了源自古希腊的“化圆为方”问题，即能否仅用直尺和圆规将一个圆变为一个正方形的问题。Lindemann的证明否决了这一猜想。进入20世纪50年代，凭借着计算机

5、技术的发展，p先是被计算到了上千位，随后又被计算到了上百万位。一些新的技术被引进到p的计算中，比如在1965年的时候人们发现傅立叶变换（FFT）可以用来完成高精度的乘法运算，而运算速度却比传统的计算方案快得多。尽管有了这样一些显著的进步，在20世纪70年代之前所有计算机都是采用古典公式来计算p的，通常是Machin公式的变种。到了1976年，Salamin和RichardBrent独立发现了一个新的计算p的算法。这个算法收敛到p的速度比任何古典公式都要快得多，该算法只需二十五次迭代就足以将p计算到超过四千五百万十进制位的精度。尽管靠着计算机的帮助，人类似乎已经把p的位数计算到了不可逾越的精

6、度。但是以上所有这些算法都有一个共同的特点：为了计算p的第d位，将不得不首先计算出d位之前的所有位。换句话说，没有任何捷径可以让计算机能够直接计算出p的第d位。因为这个缘故，所有这些已知的算法都表现出需要“吞噬大量内存”的特点，典型地，对内存的需求量与要计算的总的位数成线性关系。因此，当一个能够直接计算出p的第d位的全新公式被发现的时候，带给人们的绝不是一个小小的惊喜。这个公式，被称为Bailey-Borwein-Plouffe公式，简称为BBP公式，相应的算法，被称为BBP算法。2BBP公式的证明[1][3]BBP公式是在1996年发现的，该算法的正式论文发表于1997年，在这篇文章中，

7、22pplog(2)log(2)log(910)提出了一种计算某些超越数（包括，，，，等）小数点后第d位数字的算法。这些算法具有如下特点：l算法计算出的小数点后第d位的数字不是以10为基数（radix）的，而是以2为基数或者以16为基数，也就是实际计算出的是以二进制表示或者十六进制表示RockinsChenUESTC,Chengdu4/6/2009GeneratedbyFoxitPD