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1、方差计算公式的证明（1）用新数据法求平均数当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x=x,+a.其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x1,=x1-a,x2,=x2-a,…,xn,=xn-ax,=1n(x1,+x2,+…+xn,)是新数据的平均数（通常把x1,x2,…,xn,叫做原数据，x1,,x2,,…,xn,,叫做新数据）。证明：把左边的数据相加，把右边的数据相加，得到一个等式：x1,+x2,+…+xn,=x1-a+x2-a+…+xn-ax1,+x2,+…+xn,=(x1+
2、x2+…+xn)-nax1,+x2,+…+xn,n=(x1+x2+…+xn)n—a即x,=x-a亦即x=x,+a（2）方差的基本公式方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与他们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“S2”表示，即:S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2](3)方差的简化计算公式S2=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2]也可写成S2=1n[(x12+x22+…+xn2)]-x2此公式的记忆方法是
3、：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。证明：∵S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]∴S2=1n[x12-2x1x+x2+x22-2x2x+x2+…+xn2-2xnx+x2]=1n[(x12+x22+…+xn2)-2(x1+x2+…+xn)x+nx2]=1n[(x12+x22+…+xn2)-2n(x1+x2+…+xn)nx+nx2]=1n[(x12+x22+…+xn2)-2nx2+nx2]=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2]=1n(x12+x22+…+xn2)-x
4、2………………..(I)2根据，有x1=x1,+a,x2=x2,+a,…xn=xn,+a,和x=x,+a(详见（1）的证明)代入简化公式（I）,则有：S2=1n(x12+x22+…+xn2)-x2=1n[（x1,+a）2+（x2,+a）2+…+（xn,+a）2]-(x,+a)2=1n[(x1,2+x2,2+…+xn,2)+2a(x1,+x1,+…+xn,)+na2]-(x,2+2x,a+a2)=1n(x1,2+x2,2+…+xn,2)+2a(x1,+x1,+…+xn,)n+a2-x,2-2x,a-a2=1n(
5、x1,2+x2,2+…+xn,2)+2x,a+a2-x,2-2x,a-a2=1n(x1,2+x2,2+…+xn,2)-x,2…………………….(II)此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方差S2都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据x1,x2,…,xn计算方差；简化公式（II）按新数据x1,,x2,,…,xn,计算方差，计
6、算出的方差相同。(4)用新数据法计算方差原数据x1,x2,…,xn的方差与新数据x1,=x1-a,x2,=x2-a,…,xn,=xn-a的方差相等。也就是说，根据方差的基本公式，求得的x1,,x2,,…,xn,的方差就等于原数据x1,x2,…,xn的方差。证明：把式里的每一个式子的两边，减去式的两边（左边-左边，右边-右边）有：x1,-x,=(x1-a)-(x-a)=x1-xx2,-x,=(x2-a)-(x-a)=x2-x…………xn,-x,=(xn-a)-(x-a)=xn-x再把以上每一个新生成等式左右两边
7、平方，即有左2=右2：（x1,-x,）2=（x1-x）2（x2,-x,）2=（x2-x）2…………（xn,-x,）2=（n-x）2最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：1n[（x1,-x,）2+（x2,-x,）2+…+（xn,-x,）2]=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]这就是根据方差的基本公式，求得的x1,,x2,,…,xn,的方差就等于原数据x1,x2,…,xn的方差。2
