根号2为无理数的证明.pdf

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1、√2為無理數的證明蔡聰明數學最讓我欣喜的是,事物能夠被證明。—B.Russell—√2為無理數,這是古希臘畢氏學派一、奇偶論證法的偉大發現,是歸謬證法的典範。一方面,√2只有兩種情形:有理數(rational它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學number)或者不是有理數。不是有理數就叫的算術化研究綱領,導致數學史上的第一次做無理數(irrationalnumber)。因此,我們危機。另一方面,它也讓古希臘人發現到連立下正、反兩個假說:續統(continuum)並且直接面對到「無√窮」(infinity),使得

2、往後的數學家、哲學家為H1:2為有理數;√了征服無窮而忙碌至今,收獲非常豐富。H2:2為無理數。對於宇宙、人生之謎,佛家有所謂的25證道法門。換言之,一個深刻的事物往往可以到底是哪一個成立呢?如何證明?√從各種角度與觀點來論證。對於「2為無理欲證H2成立,我們不易直接著手,所數」,我們一共蒐集了28種證法(有些是大同以改由H1切入。√小異),其中的第十二種與第十三種是筆者自換言之,我們假設「2為有理數」,先己的證法,至少在文獻上不曾見過(也許是筆投石問路一番,看看會得出什麼邏輯結論。者孤漏寡聞)。在數量上,雖然

3、比不上畢氏定√√第一種證法:假設2為有理數,故2理的370種證法(見參考資料[5]),但是28可以寫成種已夠驚人了(28是第二個完美數,28=√a2=(1)1+2+4+7+14)。這些證法牽涉到數學b各方面的概念,弄清楚它們,有助於加深與增其中a與b為兩個自然數並且互質。將上式廣對於數學的了解,並且可將零散的知識統平方得22合在一起。a=2b(2)12√2為無理數的證明13所以a2為偶數,從而a亦為偶數。令其中p,...,p與q,...,q皆為質數且1n1mα1,...,αn,β1,...,βm皆為自然數。再由

4、a=2ma2=2b2得到其中m為某一自然數,於是p2α1p2α2···p2αn=2q2β1q2β2···q2βm12n12m22222b=a=(2m)=4m(3)或者第二種證法:觀察(3)式中的2,左項22b=2m的2為偶次方,但右項的2為奇次方,這是一因此,b2為偶數,故b亦為偶數。這就跟a個矛盾。√與b互質的假設互相矛盾,所以「2為有理√第三種證法:在(3)式中,左項有偶數數」不成立,從而得證「2為無理數」。個質數(計較重複度),右項有奇數個質數,這這是一般教科書上最常見的證法,我們也是一個矛盾。稱之為反證

5、法或歸謬法(reductioadabsur-√無論如何,我們由歸謬法證明了2為dum)。無理數。二、算術根本定理三、無窮下降法質數2,3,,5,7,11,13,...相當於自然這可以有三種變化的證法。的「原子」(不可分解之意),算術根本定理是第四種證法:假設(1)式成立。因為說:任何大於1的自然數都可以唯一分解成√a質數的乘積。這跟「萬物都是由原子組成的」1<2=<2b具有平行的類推。√所以a>b,故存在自然數q使得欲證2為無理數,我們仍然採用歸謬√√法。假設2為有理數,即2=a,其中aa=b+qb與b為自然數

6、,則a2=2b2。由a2=2b2得首先我們注意到:b>1且a>1。因為若b=1,則a2=2,但是2不是平方數,故222222b=a=(b+q)=b+2bq+q√b=1不成立,於是b>1。又因為2>1,消去b2得故a>1。其次,由算術根本定理知,b2=2bq+q2α1α2αna=p1p2···pn所以β1β2βmb=q1q2···qmb>q14數學傳播23卷1期民88年3月於是存在自然數p使得但這是一個矛盾,因為自然數不能無止境地遞減下去。b=q+p√第六種證法:假設2=a,其中a與b從而b為自然數,代入等式a=

7、b+q=(q+p)+q=2q+p√12+1=√2−1又由a2=2b2得得到(2q+p)2=2(q+p)2a1b+1==b(a)−1a−bb展開化簡得所以22p=2q(4)√ab2b−aa12==−1==至此,我們由兩個自然數a與b出發,ba−ba−bb1(7)求得另外兩個較小的自然數p與q,滿足其中a1=2b−a且b1=a−b。√今因1<2=a<2,乘以b得a>b>p>q。b在形式上,(4)式和(2)式完全相同,故b

8、aa>b>p>q>···從而a1=2b−a