构造方程证明根号无理数.doc

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1、构造方程证明根号无理数安徽省肥东县第二中学朱永见　　(邮编：231600)我们知道:如果整系数方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0(an≠0)有有理根，(p、q是互质整数)那么,q一定是a0的约数,p一定是an约数.现在我们利用这个性质来证明根号无理数.例1.求证:是无理数.证明:设x=,则有x5－2=0,∴x=是方程x5－2＝0的一个根.又根据上述性质,方程x5－2=0的有理根只可能是:±2、±1,分别代入原方程验证,皆不是原方程的根。∴x=不是此方程的有理根∴是此方程的一个无理根，∴.是一个无理数。例2求证:是无理数.证明:先证明是无理数设x=两边同时立方，得：

2、x3=　4+3··（）＋2即:x3=6+6x∴x3－6x－6=0∴x=是方程x3－6x－6=0的一个根.而此方程有有理根的话，只可能为±1、±2、±3、±6，经验证，这些都不是此方程的根。∴x=是此方程的无理根∴.是一个无理数∴是无理数.通过上面两例可知,构造方程证明根号无理数可按如下步骤来进行:１．找出一个整系数方程，使待证的无理数是此方程的根。２．列出此方程所有可能的有理根，再逐一代入原方程进行验证，如果此方程没有有理根，则说明待证的数就是无理数，如果方程有有理根的话，再证明待证数和不等于这些有理根从而说明待证数是无理数。