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1、12中等数学命题与解题构造方程组证明几何题李飞(江苏省泰州技师学院,225300)例1设AM是△ABC边BC上的中线,的非零解.任作一直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N.由三元齐次线性方程组有非零解的充要ABAMAC[1]条件知求证:、、成等差数列.APANAQpq-pn-qn(1978,辽宁省中学数学竞赛)[2]bc-cm-bm=0.分析:如图1,线0c-b段AB、AC、AM中的将其展开后整理得每两条分别是△ABC、bc(2pqm-cqn-bpn)=0.△ACM、△ABM的两又bcpqn≠0,于是,两边同除以bcpqn得条边,线段AP、AN、cb2m+=,AQ
2、中的每两条分别图1pqn是△APN、△AQN、ABAC2AM即+=.△APQ的两条边,且APAQANS△ABC=S△ABM+S△ACM,因此,AB、AM、AC成等差数列.APANAQS△APQ=S△APN+S△AQN,注:解此题用到了“三元齐次线性方程组S△ABM=S△AMC.有非零解的充要条件是它的系数行列式为于是,利用三角形面积公式,通过构造三零”的结论.元齐次线性方程组,可得到巧妙证明.例2如图2,已知△ABC是⊙O的内接证明:设∠BAM=α,∠CAM=β,锐角三角形,点O到AB=c,AC=b,AP=p,△ABC三边a、b、c的AQ=q,AM=m,AN=n.距
3、离分别为ha、hb、hc,注意到MB=MC,由三角形面积得垂足分别为Ha、Hb、pqsin(α+β)-pnsinα-qnsinβ=0,Hc.若R为⊙O的半bcsin(α+β)-cmsinα-bmsinβ=0,径,求证:R为一元三csinα-bsinβ=0.图2次方程则(sin(α+β),sinα,sinβ)是三元齐次3222x-(ha+hb+hc)x-2hahbhc=0线性方程组的一个根.pqx-pny-qnz=0,(2002,甘肃省庆阳市高中数学竞赛)bcx-cmy-bmz=0,证明:设AO、BO、CO分别交⊙O于点cy-bz=0M、N、P,联结AP、BP、BM、
4、CM、CN、AN.收稿日期:2007-12-182008年第5期13因为∠ABM=90°,所以,MB⊥AB.1=ρ2ρ6sin(180°-θ2).又OHc⊥AB,于是,OHc∥MB.2则ρ1ρ2sinθ1-ρ2ρ6sinθ2+注意到O为AM的中点,由三角形中位线定理知BM=2hc.ρ1ρ6sin(θ1+θ2)=0.①同理可得同理,MC=2hb,NC=2ha,NA=2hc,-ρ2ρ4sinθ1+ρ2ρ3sinθ2+ρ3ρ4sin(θ1+θ2)=0.②PA=2hb,PB=2ha.ρ4ρ5sinθ1+ρ5ρ6sinθ2-ρ4ρ6sin(θ1+θ2)=0.③在⊙O的内接凸四
5、边形ABMC、ABCN、将式①、②、③看作关于sinθ1、sinθ2、APBC中,分别应用托勒密定理得2Ra=cMC+bBM=2hbc+2hcb,sin(θ1+θ2)的齐次线性方程组,且一定有非2Rb=aNA+cNC=2hca+2hac,零解.因此,2Rc=aPA+bPB=2hba+2hab.ρ1ρ2-ρ2ρ6ρ1ρ6整理得(a,b,c)是三元齐次线性方程组-ρ2ρ4ρ2ρ3ρ3ρ4=0.Ra-hcb-hbc=0,ρ4ρ5ρ5ρ6-ρ4ρ6hca-Rb+hac=0,展开后两边同除以ρ2ρ4ρ6得hba+hab-Rc=0ρ2ρ4ρ6=ρ1ρ2ρ3+2ρ1ρ3ρ5+ρ3
6、ρ4ρ5+ρ1ρ5ρ6.④的非零解.因此,设ρ2=k1ρ5,ρ4=k2ρ1,ρ6=k3ρ3.R-hc-hb代入式④并同除以ρ1ρ3ρ5得hc-Rha=0.k1k2k3=k1+k2+k3+2.hbha-R又k1+k2+k3=92,所以,k1k2k3=94.展开得AOBOCO故··=94.3222OA′OB′OC′R-(ha+hb+hc)R-2hahbhc=0.例4已知锐角△ABC内接于单位圆所以,R是一元三次方程3222⊙O,圆心O到△ABC三边的距离分别为x-(ha+hb+hc)x-2hahbhc=0222ha、hb、hc.证明:ha+hb+hc+2hahbhc=1
7、.的一个根.(2000,安徽省池州市高中数学竞赛)例3在△ABC中,A′、B′、C′分别在证明:如图4,BC、CA、AB上.已知AA′、BB′、CC′共点于O,延长半径AO、BO、AOBOCOAOBOCO且OA′+OB′+OC′=92.求OA′·OB′·OC′的CO分别交⊙O于值.A1、B1、C1.则(第10届美国数学邀请赛)BA1=2sinα1,解:记∠AOB′=θ1,∠AOC′=θ2.CA1=2sinα2,如图3,由S△AOB′+CB1=2sinβ1,图4S△COB′=S△AOC,得AB1=2sinβ2,1AC1=2sinγ1,BC1=2sinγ2,ρ1ρ2
