证明根号2是无理数的八种方法.docx

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1、怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=a.b其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a2

2、2由于完全平方数2的尾数只能是、、、、2b.b01456、9中的一个，因此2b2的尾数只能是0、2、8中的一个.因为a22b2，所以a2与2b2的尾数都是0，因此b2的尾数只能是0，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此2是或5无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设a其中，且与都是正整数则a22b2可知2=b.(a,b)=1ab..a是偶数，设a=2c,则4c22b2，b22c2，可知b也是偶数，因此、都是偶数，这与(a,b)=1ab矛盾！因此2是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有

3、理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到a22b2，易见，否则，则2=a是一个整数这是不行的.b>1b=1,a22b2改写成b2aa因为，因此b有素因子，因此p整除a或a，总之，p整除a，2.b>1p2因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.证法4：仿上，得到a22b2，等式变形为b2a2b2(ab)(ab)，因为，因此b>1，或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p是a、存在素因子pp整除a+bb的公因数，与(a,b)=1矛

4、盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此ap1r1p2r2pmrm，bq1s1q2s2qnsn，其中p1,,pm与q1,,qn都是素数，r1,,rm与s1,sn都是正整数，因此p12r1p22r2pm2rm=2q12s1q22s2qn2sn，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=a，其中右边是最简分数，即在所有等于a的分数中，a是最小的正整bb数分子，在a22b2的两边减去ab有a2ab2b2ab，a(ab)b(2ba)，即2a2ba，右边的分子2

5、b-a

6、递降下去，这个过程可以无限进行，矛盾！