专题五_圆锥曲线的综合问题.doc

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1、专题五　圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.由，消元如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ＝0时，直线和

2、圆锥曲线相切于一点；c．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

3、P1P2

4、＝

5、x1－x2

6、或

7、P1P2

8、＝

9、y1－y2

10、.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p>0)

11、中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.[难点正本　疑点清源]1．直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．2．“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．1．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若

12、F2A

13、＋

14、F2B

15、＝12，则

16、AB

17、＝_______________.答案　8解析　由题意知(

18、AF1

19、＋

20、AF2

21、)＋(

22、BF1

23、＋

24、BF2

25、

26、)＝

27、AB

28、＋

29、AF2

30、＋

31、BF2

32、＝2a＋2a，又由a＝5，可得

33、AB

34、＋(

35、BF2

36、＋

37、AF2

38、)＝20，即

39、AB

40、＝8.2．已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是____________．答案　4x－y－7＝0解析　设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件．3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点

41、A(x1，y1)，B(x2，y2)，若

42、AB

43、＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为(　　)A.B.C．2D．3答案　B4．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·等于(　　)A.B．－C．3D．－3答案　B解析　方法一　(特殊值法)抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)，∴·＝·＝－1＝－.方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1.∴·＝－1＝－.题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题例1　已知

44、抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈，求

45、PQ

46、的最大值．思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立

47、PQ

48、和λ的关系，然后求最值．(1)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，∴＝(1

49、－x1，y1)＝(1－λ，λy2)＝λ＝λ，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)解　由(1)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，∵y1y2>0，∴y1y2＝4，则

50、PQ

51、2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)＝2＋4－12＝2－16，λ∈，λ＋∈，当λ＋＝，即λ＝时，

52、PQ

53、2有最大值，

54、PQ

55、的最大值为.探究提高　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值

56、问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．(2012·四川)如图，动点