专题五第三讲圆锥曲线的综合问题(A).doc

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1、第三讲　圆锥曲线的综合问题(A)1.(2013·高考福建卷)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，

2、CO

3、为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求

4、MN

5、；(2)若

6、AF

7、2＝

8、AM

9、·

10、AN

11、，求圆C的半径．2．(2013·河南质检)已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，试证明：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求

12、直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．4．(2013·高考北京卷)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．答案：1．【解】

13、(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d＝2.又

14、CO

15、＝，所以

16、MN

17、＝2＝2＝2.(2)设C，则圆C的方程为＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0.设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则由

18、AF

19、2＝

20、AM

21、·

22、AN

23、，得

24、y1y2

25、＝4，所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0，所以圆心C的坐标为或，从而

26、CO

27、2＝，

28、CO

29、＝，即圆C的半径为.2．【解】(1)直线x＋ky－3＝0经过定点F(3，0)，即点F(3，0)是椭圆C的

30、一个焦点．设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a＋3＝8，即a＝5.所以b2＝a2－32＝16.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：因为点P(m，n)在椭圆C上，所以＋＝1，即n2＝16－(0≤m2≤25)．所以原点到直线l：mx＋ny＝1的距离d＝＝<1.所以直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1恒相交，L2＝4(r2－d2)＝41－.因为0≤m2≤25，所以≤L≤即直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围是[，]．3．【解】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此

31、可得＝－＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)由解得或因此

32、AB

33、＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n(－

34、CD

35、＝

36、x4－x3

37、＝.由已知，四边形ACBD的面积S＝

38、CD

39、·

40、AB

41、＝，当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.4．【解】(1)因为四边形OABC为菱形，所

42、以AC与OB互相垂直平分．所以可设A(t，)，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.所以

43、AC

44、＝2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝，所以AC的中点为M(－，)．因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·(－)≠－1，所以AC与OB不垂直．所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．