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1、专题五圆锥曲线的综合问题基础知识•自主学习I要点梳理I1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从儿何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看，可通过将表示宜线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线/的方程为Ax+By+C=O,lw
2、锥曲线方程/U，y)=0.［Ax+By+C=O山I“、八，消兀加，刃=()如消去y后得ax2+bx+c=O.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时，直线/与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线/与抛物线的对称轴平行或重合.②若
3、dHO,设d=b2—4ac.a.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b・/二0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c.虫0时，直线和I员1锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交丁•两点P心］,旳)，卩2(兀2,力)，则所得弦长IPQI=P1+Xxi~x2或1巴尸21=^l+*1yi—)』(2)当斜率R不存在时，可求出交点坐标，立接运算(利用轴上两点间距离公式).3.圆锥曲线的中点弦问题22遇到屮点弦问题常川“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭【畤+話=1屮，以,222P(eyo)为中
4、点的弦所在直线的斜率£=—弓出在双曲线务一右=1中，以P(e为)为ct}?oau中点的弦所在直线的斜率k=¥;在抛物线y2=2px(p>0沖，以P(x(),yo)为中点的弦所在直线的斜率k=K)0［难点正木疑点清源］1.直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”・2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式/>0是否成立.I基础自测I221.已知尺、E为椭圆吉+号=1的两个焦点
5、，过鬥的直线交椭圆于4、3两点.若知1+IF2BI=12,则AB=.答案8解析由题意知(lAFil+L4F2I)+(IBFil+IBF2I)=IABI+AF2+IBF2I=2d+N,又由a=5,可得L4BI+(IBF2l+L4F2l)=20,即LABI=8.21.己知双曲线方程是<一牙=1,过定点P(2,l)作直线交双曲线于凡，巴两点，并使P(2,l)为P1P2的中点，则此直线方程是.答案4x—)，—7=0解析设点P
6、(xpyi),户2(兀2，$2)，则由X-¥=1,1,得—'=2(七X1)=//也一兀1?2+y2X4二
7、一=4,从而所求方程为4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得14,-56兀+51=0,J>0,故此直线满足条件.2.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点4(“川)，Bg，力)，若L4BI=7,则4B的中点M到抛物线准线的距离为()57A.^B-C.2D.3答案B3.设坐标原点为O,抛物线y2=2r与过焦点的直线交于A、B两点，则法•丽等于()33A.才B・—才C.3D.—3答案B解析方法一(特殊值法)抛物线的焦点为电，0),过F且垂直于x轴的直线交抛物线于1),B(*,-1),：.OAOB-^1)(*,-1)=
8、-
9、1=方法二设人(七，yi),B(X2,)吩，则OAOB=X1X2+)仃)2由抛物线的过焦点的弦的性质知:穴12皿2=4=4,刃力=~P=_1・•ff13：.OAOB=^-1=盲.题型分类・深度剖析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题70例11已知抛物线C：/=4x,过点4(—1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，&AP=XAQ.(1)若点P关于兀轴的対称点为M,求证：TT•线M0经过抛物线C的焦点F；(2)若2丘，求IP0的最大值.思维启迪：⑴可利用向量共线证明直线MQi±F;(2)建立IPQI和2的关系，然后求最值.(1)证明设P(
10、兀1，yj,2(x2>乃)，M(兀1，->j).TAP=/AQy.x+1=A(%2+1)，Vi=2^2，y=4xi,V2=4^2>X[=AX2>221A=21/.A2X2+1=A(x2+1)，AX2(A-1)=2-1,丁久工1,.•.兀2=+，xi=久，又F(1,O),.MF=(1-xpyj=(l-久，Ay2)=£-1，y2)=2F0,・・・直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)解由⑴知兀2="7,旳=2,A21y11=X2得•)U2>0，••)3=4,则IP0I2=(X,一兀2)2+(.Vl-y2)2=X1+%2+Jl+)
11、?2-2(X]X2+阳2)=0+少+4(2+》-12=0+冷-16,riliir5ioq当2+扌=¥'即久=+时，IPQ”有最大值爭，IPQI的最大值为探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平血几何的有
