理科数学专题五-高考中的圆锥曲线问题.doc

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1、专题五　高考中的圆锥曲线问题1.已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若

2、F2A

3、＋

4、F2B

5、＝12，则

6、AB

7、＝________.答案　8解析　由题意知(

8、AF1

9、＋

10、AF2

11、)＋(

12、BF1

13、＋

14、BF2

15、)＝

16、AB

17、＋

18、AF2

19、＋

20、BF2

21、＝2a＋2a，又由a＝5，可得

22、AB

23、＋(

24、BF2

25、＋

26、AF2

27、)＝20，即

28、AB

29、＝8.2.设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则

30、AB

31、的最小值为(　　)A.B.pC.2pD.无法确定答案　C解析　当弦AB垂直于对称轴时

32、AB

33、最短，这时x

34、＝，∴y＝±p，

35、AB

36、min＝2p.3.若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为(　　)A.1B.2C.3D.6答案　B解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距

37、CD

38、＝＝，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝＝，所以＝，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.4.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦

39、点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)21A.(－2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(－1,2)答案　B解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，

40、PF

41、＝

42、PN

43、，∴

44、AP

45、＋

46、PF

47、＝

48、AP

49、＋

50、PN

51、≥

52、AN1

53、，当且仅当A、P、N三点共线时取等号.∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D，故选B.5.设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·等于(　　)A.B.－C.3D.－3答案　B解析　方法一　(特殊值法)抛

54、物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)，∴·＝·＝－1＝－.方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1.∴·＝－1＝－.题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题例1　(2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上.(1)求曲线C的方程及t的值；21

55、(2)记d＝，求d的最大值.思维启迪　(1)依条件，构建关于p，t的方程；(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值.解　(1)y2＝2px(p>0)的准线x＝－，∴1－(－)＝，p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0).且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1

56、－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而

57、AB

58、＝·

59、y1－y2

60、＝·＝2∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，又m＝满足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值为1.思维升华　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数

61、或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.21　已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，

62、

63、·

64、

65、cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点.(1)求

66、

67、＋

68、

69、的值，并写出曲线C的方程；(2)求△APQ面积的最大值.解　(1)设M(x，y)，在△MAB中，

70、AB

71、＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得

72、

73、2＋

74、

75、2－2

76、

77、·

78、

79、cos2θ＝4.即(

80、

81、＋

82、

83、)2－2

84、

85、·

86、

87、(1＋cos2θ)＝4.(

88、

89、＋

90、

91、)2－4

92、

93、·

94、

95、cos2θ＝4.而

96、

97、

98、·

99、

100、cos2θ＝3，所以(

101、

102、＋

103、

104、)2－4×3＝4.所以

105、

106、＋

107、

108、＝4.又

109、

110、＋

111、

112、＝4>2＝

113、AB

114、，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a＝2，c＝1.所以曲线C的方程为＋＝1.(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.由消去x并整理得(3m2