中考数学开放型问题解析

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1、中考数学综合实践活动问题解析数学综合实践活动命题（原创）：（本题满分7分）阅读下列材料：为什么说是无理数？假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得=，于是有p=3q.∵3q是3的倍数，∴p也是3的倍数.∴p是3的倍数.设p=3x（x是正整数），则p=9x，即9x=3q.∴3x=q.∴q也是3的倍数.∴p，q都是3的倍数，不互质，与假设矛盾.∴假设错误.∴不是有理数.用类似的方法，请解答：已知：、是无理数，求证也是无理数。以下为解答过程：证明：假设是有理数……………………………………1分那么存在两个互质的正整数p，

2、q，使得=……………2分∴=＋……………………………………………………3分上式两边分别平方，整理得=………………………………………………………4分∵p，q为互质的正整数∴为有理数…………………………………………………5分∴为有理数，这与已知条件产生矛盾…………………………6分∴是无理数…………………………………………………7分命题解析：本题的素材取自人教版七（下）教材“《实数》中阅读与思考”（P58）。解题涉及到的知识有反证法、有理数、互质、奇数、完全平方公式、分式的化简，本命题主要应用反证法进行证明。反证法的证明方法对于

3、中学生来说比较抽象，但它对解决数学综合实践问题有着非凡的意义。无理数的发现导致了第一次数学危机，直接证明某数是无理数根本无从下手。考虑到在实数范围内，无理数的对立面是有理数，故可从我们较为熟悉的有理数入手，从而推得等式左右两边的自相矛盾。这就需要运用反证法进行证明。反证法是数学思维方法中极其重要的一种，它在数学教学实践中应用很广，用以解决一些难以直接证明的问题，并能使学生的逻辑思维、逆向思维能力得到锻炼和发展。可以说，反证法是数学思维方法中的一颗明珠。反证法属于间接证明方法，其逻辑过程是：先假设命题结论的对立面是正确的，再

4、通过一系列的推理分析，在证明过程中产生矛盾，从而证明了原命题的结论为真。它能够很好地拓展学生的解题思路、锻炼他们的逆向思维。反证法证明一般可按三步骤进行：①反设：假设原命题不成立，提出与原命题结论对立的假设；②归谬：从命题结论的对立及题给条件入手，通过一系列严密的证明，得到与题给条件、定义、定理等相矛盾的结果；③下结论：指出所作的“反设”是错误的，从而说明原命题结论正确。其中，反设是关键，归谬是核心。学生理解并掌握反证法的含义对锻炼数学思维能力和对数学综合实践问题的分析有着重要意义。基于这一点，尝试设计该命题来考查学生在阅

5、读理解的基础上，理解材料所用的方法，能归纳、概括出解题的依据和方法（反证法）来解决新问题的能力。本题预测难度值是0．31，它既是数学综合实践活动问题，也是阅读理解题：先让学生阅读材料，在理解掌握反证法的基础上，仿照阅读材料中的方法，先适当变形然后两边平方，利用完全平方公式化简得出等式左边是无理数，而等式右边为有理数，从而产生矛盾得出论证。本题的解题关键是运用完全平方公式和化简分式得出准确结果。数学综合实践活动为学生学习方式的多样化提供了空间与时间,使学生的数学发现与探索活动得以真正开展起来，让学生在解决实际问题中不断地提高

6、自身的创造力。能使学生在大量感性材料的基础上，对材料进行整理，找出规律，逐步抽象、概括、获得数学概念知识，使抽象问题具体化。数学综合实践活动是一种主动探求知识、重视解决实际问题、有利于学习者形成终身学习的活动课程。因此，它可以激发学生学习数学的兴趣，引导学生学会应用所学的数学思想和方法去观察、分析、研究问题，从而明确学习数学的根本目的在于应用。阅读理解题一般都是先提供一个材料（问题）及解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程，然后要求学生自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，并应用解答试题中提出的问题

7、。对于这类题型，求解步骤是：阅读——分析——理解——创新应用。其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材。因此这种试题是考查学生随机应变能力和知识的迁移能力，学生要在理解所提供的材料基础上，获得探索解决问题的方法，并且加以运用，解决实际问题。本题考查目标除了初中数学基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力。