第五讲中考数学中的开放型问题.doc

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1、第五讲☆◇☆中考数学中的开放型问题☆◇☆开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不

2、惟一，这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。[例1]已知△ABC内接于⊙O，⑴当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD＝2cm。[解析]：⑴要使∠ACB＝90°，弦AB必须是直径，即O应是AB的中点；⑵当CD⊥AB时，结论成立；⑶由⑵知，即，可作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过D作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即得所求。⑴

3、当点O在AB上（即O为AB的中点）时，∠ACB是直角；⑵∵∠ACB是直角，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD；⑶作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD=4，过D点作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即为所求（如下图所示）。OABCD14OABC[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。看似平常，实际上非常精彩。ABDEC12[例2]（鄂州市中考题）如图，E、D是△ABC中BC边上的

4、两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，还应补充什么条件？[解析]：这是一道条件开放题，解题关键是由AD＝AE，可以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条件。在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明△ABE≌△ACD。于是可补充以下条件之一：⑴BE＝CD（SAS）⑵BD＝CE（此时BE＝CD）⑶∠BAE＝∠CAD（ASA）⑷∠BAD＝∠CAE（此时∠BAE＝∠CAD）⑸∠B＝∠C（AAS）⑹AB＝AC（此时∠B＝∠C），……[评注]：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。[例3]（北

5、京市东城区）在△ABC与△A/B/C/中，∠A=∠A/，CD和C/D/分别为AB边和A/B/边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A/B/；②AC=A/C/；③CD=C/D/中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_____个正确的命题。[解析]：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。⑴若∠A=∠A/，AB=A/B/，AC=A/C/，则得△ABC≌△A/B/C/（SAS），∴CD=C/D/（全等三角形对应线段相等），可以构成真命题。⑵当∠A=∠A/，AB=A/B/，CD=C/D/时，不能推得△ABC与△A/B/C/，或△ADC与△A/D/C/

6、全等，∴AC与A/C/不一定相等。⑶同理，当∠A=∠A/，AC=A/C/，CD=C/D/时，也不能证明AB=A/B/成立。∴真命题只有1个。[评注]：本题是探索性问题颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新的方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。[例4]在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形

7、ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；其中正确的说法有（）A．3个B．4个C．5个D．6个[解析]：本题主要考查平行四边形的判定，但命题者别出心裁设计了一道给出结论和部分条件，让考生探索附加条件的各种可能性的开放型试题，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查给

8、出的6种说法。说法①符合平行四边形的定义；说法②符合