第五讲 棋盘中的数学问题（二）.doc

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1、第五讲棋盘中的数学问题（二）一、知识要点1．学习二人对弈游戏中的基本思考方法：逆推法．2．掌握数学游戏中失败点和胜利点之间的关系，并能准用语言准确描述“必胜策略”．3.棋盘中的计数问题．4.用构造法解决存在性问题，掌握构造的一般技巧和基本规律；学习染色问题的基本思想，可以借助这一思想解决一些和棋盘表格相关的构造论证类题目；掌握染色问题的技巧：双色染色，多色染色。以及间隔染色，行列染色，区域染色．二、典型例题例1.如图是一个4阶的幻方。一次操作是指对一行（或者一列）的四个方格中的每一个数加上或者减去相同的自然数，那么是否可以经过有限步的操作使得图1中的4阶幻方变为图2中的形式。能则

2、给出一种操作，不能则说明理由。否，黑白的差永远为01357101103105107201203205207301303305307000001011010010030000000图1图2例2．将2011个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动，1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走；2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走思考：将2010个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或

3、3格，但只能向右移动，1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走；2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走例3．仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：2）在一个5×5的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，

4、请详细叙述他必胜的策略：3）如果是10×10的方格，那么有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略:例4．仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）、一个4×4的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；2）、一个2010×2010的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，

5、不能则说明理由；3）、如果是一个2010×2011的方格，那么是否存在使得所有灯全部变亮的方法；如果有至少按多少次；如果没有，请说明理由；例5．某影院有31排,每排101个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?.例6.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个8´8的正方形棋盘?例7.仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.ABAB2

6、）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,右上图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?例8．如图，一个4×4方格表内填有1―16这16个自然数，现在从填有1的方格出发，每一步可以走到相邻的方格中（有一条公共边的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有2的方格，那么所走到的全部方格中，填的数之和最大可能是多少？例9.甲、乙两人轮流在国际象棋的棋盘上摆放棋子“象”，使得互相之间不会被吃（不考虑象的颜色）。谁不能再放就算输，那么采取什么样的策略可以获胜？（注：国际象棋中，象可以吃掉与它在同一条斜线上的其他棋子）例10.（思

7、考题）在平面上有一个48的方格棋盘，棋子每步跳至2´3矩形的另一角(如图的八个方向之一)，那么能否从棋盘上某一点出发，让棋子按一定的方法不重复不遗漏地走遍棋盘上所有空格？例11．如图，一个转盘被分为内外两部分，用五条半径平均分割开这个转盘，其中内部的小圆盘固定不动，外部的圆环可以随意转动（要求转动后必须使得分割线重新组成半径）。请把数字0到9填入这10个区域中，使得不管外环如何转动，总有大圆的一个扇形内的两部分所填数字之和为9。例12.在10×10的方格表中最少要放多少个2×2的