棋盘上的数学问题

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1、2005年第12期11●命题与解题●棋盘上的数学问题卢建川　　吴伟朝(广州大学数学与信息科学学院,510405)　　棋盘上的数学问题,由于涉及到分类讨a1+a5+a9=15,①论、奇偶分析以及变换、构造等数学方法和技a3+a5+a7=15,②巧,所以,一直是各类数学竞赛的热点.a2+a5+a8=15,③1　棋盘填数问题a4+a5+a6=15.④①+②+③+④得起源于我国上古夏禹时代的“洛书”即三3a5+(a1+a2+⋯+a9)=60,阶幻方问题,就是典型的棋盘填数问题.即3a5+45=60,得a5=5.例1　将

2、1,2,⋯,9这9个数填入3×3余下的8个数中有4个偶数、4个奇数.棋盘,使各行、各列及两对角线之和均相等.若假设a1为奇数,则由式①知a9必为奇数.例1就是三阶幻方问题.分类讨论如下:解法1:因三阶幻方要求各行、各列及两(1)若a2为奇数,则由式③知a8必为奇对角线之和均相等,不妨将其和称作“幻和”,记为S.注意到三行之和数相加就是1～9全数.于是,由a1+a2+a3=15,知a3也必为部数之和,因此,3S=45,即S=15.奇数,即a1、a2、a3、a8、a9为奇数.矛盾.再考虑将15分拆为1～9内3个不同

3、的(2)若a2为偶数,则由式③知a8必为偶正整数之和时,有8种不同的情况:数.于是,由a1+a2+a3=15,知a3必为偶1+5+9,1+6+8,2+4+9,2+5+8,数.同理,a4、a6、a7必为偶数.矛盾.2+6+7,3+4+8,3+5+7,4+5+6.故a1必定为偶数.可见,此8个式子正是所要求的8个幻同理,a9、a3、a7也必为偶数.和,其中数字5出现4次应填在正中央;数字取a1+a9=2+8,a3+a7=4+6,于是,2、8、4、6各出现3次应填294a2=9,a4=7,a6=3,a8=1.入四角;

4、把各出现2次的753剩余四个数1,9,3,7分别2　棋盘上的操作性问题618如图1填入,便可得到满图1例2在3×3棋盘中,随意在每个方格足题目要求的填法.内填入1或-1,然后作如下操作:每个方格解法2:由解法1知a1a2a3均换作它的所有相邻(具有公共边)的格的数幻和S=15.a4a5a6的积.求证:不论最初如何填数,都能在有限如图2,不妨记三阶a7a8a9次操作后(称这样的操作为“邻积变换”),使幻方各方格中的数分别为图2所有方格内的数都变为1.a1,a2,⋯,a9.注意到(第18届前苏联数学奥林匹克)　　收

5、稿日期:2005-07-05　修回日期:2005-09-13分析:由每一个方格内所填数字1或-1©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net12中等数学的随意性,可考虑用字母ai代替填入的数位数12354678.由于数字5排在数字4的左字.可运用代数分析方法研究邻积变换中的边,我们称这个八位数有一个逆序.不变性(即数字1或-1的自乘积均等于1).在3×3网格的同一行中,按

6、照要求调整证明:不妨设各方格所填的数分别为时,对应数字只能左右移动,移动前后的棋盘a1,a2,⋯,a9(ai=1或-1),具体操作如图3.所对应的八位数完全相同,相应的逆序的总数不发生变化.如果按照要求,将数字移动到相邻的行中,相当于在对应的八位数中,将某个数字向左(或向右)跳过了两个数字.注意到在一个多位数中,两个相邻数字交换位置,逆序总数的变化量只能是1或-1,于是,将数字移动图3到相邻的行时,对应的八位数的逆序总数的2注意到ai=1(i=1,2,⋯,9),从而,可变化量只能是2或0或-2.知结论成立.比如

7、,由图5(a)到图5(b),相应的八位例3　如图4(a)是一个3×3的网格,其数由12354678调整为12357468,相应的逆序中放了“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”八个字总数由1变为3,且逆序总数的变化量为2.块,但是放错了顺序.问:是否可以移动网格因此,按照要求移动字块时,逆序总数的中的字块,将图4(a)中所示的八个字块校正变化量总是偶数,不会改变网格的逆序总数成图4(b)中所示的八个字块?如果能,请写的奇偶性.出操作过程;如果不能,请说明理由.但图5(a)所对应的八位数12354678的希望杯希望杯

8、逆序总数是1(奇数),图5(c)所对应的八位学数数学数12345678的逆序总数是0(偶数).所以,不竞赛题竞赛题能按要求将图4(a)调整为图4(b).(a)(b)注:本题通过对应变换,将问题巧妙地转图4化为多位数间的置换问题.同时,将字块的移(要求:每次移动网格中的字块时,只能动划分为两大类:一类是字块进行左右移动,将字块滑动到相邻的空的网格中.)另一类是字块进行上下移动,进而研究在