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1、.知识梳理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c≥b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．3．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实
2、根没有实数根Word资料.ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根x1，x2(x1＜x2)x1＝x2＝－ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x
3、x1＜x＜x2}∅∅考点一 条件判断不等式是否成立1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a
4、＜0的情况转化为a＞0时的情形．【例1】若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②
5、a
6、＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是( )A．①④B．②③C．①③D．②④解析 法一 特例法，特例原则，符合条件，尽量简单，一次不够再来一次因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然
7、a
8、＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误．Word资料.综上所述，可排除A，B，D.法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0
9、.故有＜，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞
10、a
11、，即
12、a
13、＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确．答案 C【训练1】(1)(2014·三明模拟)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是( )A.＞B．a2＜abC.＜D．an＞bn解析 (1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐
14、个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，＜⇔
15、b
16、(
17、a
18、＋1)＜
19、a
20、(
21、b
22、＋1)⇔
23、a
24、
25、b
26、＋
27、b
28、＜
29、a
30、
31、b
32、＋
33、a
34、⇔
35、b
36、＜
37、a
38、，Word资料.∵a＜b＜0，∴
39、b
40、＜
41、a
42、成立，故选C.考点二 一元二次不等式、函数、方程关系不等式解集的端点是方程的根（求方程根、分段、验证）【例2-1】解不等式x2＋x－12≥0解：由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，∴x≤－4或x≥3.答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)训练2-1-1】．“
43、x
44、＜2”是“x2－x－6＜0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分
45、条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 不等式
46、x
47、＜2的解集是(－2，2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2，3)，于是当x∈(－2，2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.答案 A含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论（是二次吗？有根吗？根的大小确定吗？）例2-2】解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解 ①当k＝0时，不等式的解为x＞0.②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为＜Word资料.x＜；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．
48、③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜或x＞；若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1.综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；0＜k＜1时，不等式的解集为；k＝0时，不等式的解集为{x
49、x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的解集为；k＝－1时，不等式的解集为{x
50、x≠－1}；k＜－1时，不等式的解集为R.规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则
51、可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，Word资料.以便写出解集．训练2-2-1】解关于x的不等式
