“恒成立”问题-论文.pdf

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1、2014年第1期·学法指导·涪数“恒成立”问题甘肃临洮县第四中学于敏一、分离参数法根据图像，不等式；)=似+6>0(或O)在区间【m州上恒成立的充要条件是．不等范围。式／)=仳+6+c<0(。>o)在区间【m，]上恒成立的充要条件分析：本题可用求最值的方法去解，但需对m分情况阜／f(m)>O讨论．若将参数m与自变量分离开来，即可转化为一个疋【

2、n1>0‘确定的函数)：小于等于1-—1+4m2恒成立问题。三、变换主元法例3．设不等式mx2-2~一m+l<0对满足Iml≤2的一切解：不等式化为一1)+(m))一4m~)I>0，即m都成立，求的取值范围．分析：当m在卜2，2]内变化时，／'?／0C2-2X—m+l的值随m(一1)Z-l+4m一4一，二一+l+4m2xZ-4m≥0，的变化而变化，故可视m为主元，将不等式看成关于m的，n不等式，进而将不等式的左边看成关于m的函数，利用函整理得f、1-丁1+4m1x2-2x一31>0，数的性质求解m，Jy因为2>0，所以1一+4m≥孚‘，设g

3、一)=孚，ym＼【÷，+。。)．。f7／于是题目化为1-1+4m≥)mm，对任意[}，+)＼恒成立的问题．图1图2因此1一—+4m≥g)一．解：设厂(m)=一1+(1—2x)，则不等式／'D~2-2x—m+l<0对满足ImJ≤2的一切m都成立铮Imf≤2时厂(m)<0恒)：=+=3(+1厂21，10，手]，)成立，函数f(m)：(x2-1)m+(1—2x)是关于的常量函数或一x2次函数，由其性质可得即I2-2x-1<，解得在[手，+)上单调递减，)—=手)=丁8，所以1一+【一乙+3<屯<．所以的取值范围是4m≥，整理得12m4—5m乙3≥

4、0，／、／丁一1、／丁+1＼l~[J(4m2-3)(3m+1)≥，所以4m2-3／>0，解得m≤一＼2’2／．点评：在含有多个变量的恒成立问题中，合理运用或m≥，因此实数m的取值范围是mf—，‘主元思想”考虑如何选择主元是十分必要的。四、判别式法]u[单)。例4．(2009江西)设函数几一x~+6x一。．对于任点评：分离参数时一定要注意参数的系数的正负应意实数厂)≥m恒成立，求m的最大值．该能够确定，分离之后用最值法解决。分析：不等式-厂)一mt>0为关于的一元二次不等二、数形结合法式，根据其对应函数的性质知抛物线与轴无交点，可利用判别式△

5、求解．例3．已知函数／)一+ax+的定义域为R，且在解：，f)=3一9x+6因为f)≥m恒成立，所以3一区一1，1】上是增函数，求实数a的取值范围。9x+(6一m)≥0恒成立，所以A=81—12(6一m)≤0，得m≤一÷，分析：由题意／)在卜1，1]E是增函数可知f)≥0在[一l，l】上恒成立，所以题目转化为二次函数在闭区间上的即的最大值为一}．恒成立问题，用最值法或分离参数法求解时均需分情况讨点评：解一元二次不等式恒成立问题时，可依据以下论，．故该题借助于其图像求解。结论：解)在卜1，1]上是增函数々)一2x。+2似+4≥0在卜l，1]上

6、恒成立。由图1可知，只需0(~ox2+b+c<0≠O)恒成立甘{，即{二-2+-2na+4≥I>0．解得一1≤。≤1，所以实数。的取值范围为(~ax2+b+c>0≠0)恒成立§{“恒成立”问题是高中数学中的一类常见题型，其解法[-1，1]．灵活多变，有些问题可用多种方法求解，在具体解题过程点评：运用数形结合法将数学语言转化为图形语言，中，需要学生认真分析题意，根据题目的“个性”选择适合通过观察图形使问题获解，是解决数学问题的重要思想。题目的具体解题方法，尽可能使解题迅速、准确、简便。