恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略-论文.pdf

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1、2014年l0月1日理科考试研究·数学版·33·恒成立、能成互、·恰成立等问题的解题策略南京市第三高级中学210001周志成高中数学中的有关“恒成立”、“能成立”、“恰成立”等问解析由题可得一1—4m(一1)≤(一1)一1题，虽然在教材中没有专门的讲解，但是这些内容一直以来都是高中数学教学的重点和难点．又因为这类问题的解法较多，4(m2一1)在∈[÷，+)上恒定成立，即一。3一2+1+同时在一些题目中更是没有明显出现“恒成立”、“能成立”、“恰成立”、“都成立”等字样，若明若暗，具有一定的隐藏性，4m一：≤0在e[÷，+a。)上恒成

2、立．极易被解题者忽视．所以在历年高考(江苏近年来几乎年年都考)中都屡见不鲜．令￡：，则t∈(o，寻]，．．．一3￡2—2t+1+4m2一—1i≥如何准确地、快速地解决这类问题?笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决这类0在t∈(o，寺]上恒成立·令g(t)=一3一2t+l+4m一，问题时是很好的方法．本文通过举例说明来探讨这类问题的一·些常规处理方法．．．g(0)≥0且g()≥0，．·．得m≤一譬或m≥．一、恒成立问题(三)主参换位法(一)分离参数法例3已知函数，()=一+(0+1)+I，其中解决恒成

3、立问题的第一种常用解法是利用分离参数转化为最值的方法求解，其基本步骤：分离参数，构造函数，求最值．。为实数．若不等()>一*一n+1对任意nE(0，+)(1)将参数与变量分离。即化为，(m)≤g(x)(或m)≥都成立，求实数的取值范围．g())恒成立的形式；解析由题设知似一3x+(口+1)>一一。+1对(2)求g(x)在∈D上的最大(或最小)值；Vn∈(0，+∞)都成立，即a(x+2)一。一2x>0对Vn(3)解不等式，(m)≥g(x)(或，(m)≤g(x))，得m(O，+a。)都成立．的取值范围．设g(8)=(+2a)0一一2x(

4、口ER)，贝Ⅱg(。)是——个适用题型(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易以n为自变量的一次函数．求出．‘．+2>0恒成立，则对VER，g(n)为R上的单调递例l(2010天津理)设函数，()=一1，对任意∈增函数．所以对V口∈(0，+∞)，g(口)>0恒成立的充分必要条件[÷，+a。))一4m2f()≤，(一1)+4f(m)恒成立，则是g(o)≥0，一一2x≥0．一2≤≤0，于是的取值范实数m的取值范围是—一围是{l一2≤≤0}．解析由题可得一l一4m(一1)≤(一1)一1+二、“能成立”问题，例4(2011年江苏14题)设

5、集合A：{(，y)I≤(4(m一1)在E[睾，+∞)上恒定成立，即一4m≤一3一2)+y2≤m，，，，∈R}，B={(x,y)I2m≤+y≤2m+一三+1在E[÷，+∞)上恒成立．l，x,y∈R}，若AnB≠，则实数m的取值范围是一解析当m≤0时，集合A是以(2，0)为圆心，以ImI为当：了3‘时函数y：一；一吾+l取得最小值一÷J，所半径的圆，当m>0时，集合A是以(2，o)为圆心，以√詈和以一4m≤一下5ImI为半径的圆环．集合B是在两条平行线之间．因为An曰，即(3m2+1)(4m2—3)≥o，解得m≤一譬，孔J‘厅≠，只要士

6、≤Iml，司≤ImI，或m≥(二)函数法解得：2一≤m≤2+，或1一-7-≤1+，即l一解决恒成立问题的第二种常用解法是函数法即通过构造≤m≤2+又因为詈≤m，．·．m≥—1，或m≤0．函数，再利用函数的特性分析解决问题(利用化归思想将其转换为求函数的最值问题)．综上得÷≤m≤2+．(1)若不等式，()>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，()>A三、恰成立问题(2)若不等式，()

7、式)

8、的学生中拉开的差距更太单化了．所以我们老师在复习的过程中要善于发散思维，不能由于文科的内容比理科要少将近一个学期．在现在的高考讲一道题就讲这道题的内容，要善于和其他章节联系起来，这模式下到了高二下学期小高考结束以后，很多学校就开始提前