资源描述：
《9.半群和群semigroup and group》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、9.半群和群semigroupandgroup§9.1二元运算复习binaryoperationrevisitedA上二元运算f：A×A→Af处处有定义的函数。Dom（f）＝A×A，对任意a，b∈A，f(a，b)∈A，唯一确定。二元运算常记做＋，－，×，*，◦，等等对任意a，b∈A，a◦b∈A说成A对◦封闭。A＝{a1,a2,……,an}时，二元运算可以用运算表给出。二元运算的性质1可换commutativea*b=b*a2结合associativea*(b*c)=(a*b)*c3幂等idempotenta*a=a§9.2半群semigrou
2、p半群定义：(S,*)*是S上乘法，满足结合律。半群的例（Z，＋），（Z，×），（N，×），（N，＋），（Q，＋），（R，×），（Zn，＋），（Zn，×）（P(S),∪），（P(S),∩），（Mn，＋），（Mn，×），（F[x],+）,(F[x],×)，S上全体映射，对于复合，（L，∧），（L，∨），L是格（A*,×）,A*是A中字符组成的字符串，×是连接运算，（A*,×）也叫作A生成的自由半群freesemigroup。由结合律定理1.半群中，n个元素的乘积与乘法的次序无关。恒等元identity：e∈(S，*),对任意a∈S，e*a=a*
3、e＝a.恒等元也叫单位元unit。独异点monoid：有恒等元的半群叫独异点.例0是（N，＋），（Z，＋），（Q，＋），（R，＋）的恒等元。（Z＋，＋）中无恒等元，1是（N，×），（Z，×），（Q，×），（R，×）的恒等元。（P(S),∪）的恒等元是Æ，（P(S),∩）的恒等元是S。（Mn，＋），（Mn，×），（F(x),+）,(F(x),×)的恒等元分别是0n,In,0,1。S上全体映射，对于复合组成的半群的恒等元是IS。自由半群（A*,◦）的恒等元是Λ。子半群subsemigroup子独异点submonoid设（S，*）是半群，TÍS，T
4、对*封闭，则（T，*）也是半群，称为（S，*）的子半群。设（S，*）是独异点，TÍS，T对*封闭，且e∈T，则（T，*）也是独异点，称为（S，*）的子独异点。（N，＋），（Z，＋），（Q，＋），（R，＋）前一个是后一个的子半群，也是子独异点。（N，×），（Z，×），（Q，×），（R，×）前一个是后一个的子半群，也是子独异点。设（S，*）是半群，（S，*）是（S，*）的子半群。设（S，*）是独异点，（S，*）是（S，*）的子独异点。设（S，*）是独异点，({e},*)是（S，*）的子独异点。一个独异点（S，*）中只有一个恒等元。设e和e’都是S
5、的恒等元，e’=e*e’=e.幂power：设（S，*）是半群，a∈S，定义a的幂power：a1＝a，an=an-1*a.设（S，*）是独异点，令a0＝e幂的运算：am*an=am+n(am)n=amn.（1）设（S，*）是半群，a∈S，令T＝{ai
6、i∈Z＋}则（T，*）是（S，*）的子半群。（2）设（S，*）是独异点，a∈S，令T＝{ai
7、i∈N}则（T，*）是（S，*）的子独异点。同构isomorphism和同态homomorphism同构设（S，*）和（T，*’）是两个半群，函数f：S→T是一一对应，"a，b∈S，f(a*b)=f(
8、a)*’f(b).称（S，*）和（T，*’）同构，记做（S，*）@（T，*’）.验证两个半群（S，*）和（T，*’）同构的方法：定义一个映射f：S→T，证明(1)f处处有定义，即Dom(f)=S.(2)f单，f(a)=f(b)Þa=b.(3)f满，Ran(f)=T.(4)f保持运算f(a*b)=f(a)*’f(b).例.令T＝{2n
9、n∈Z}，则（T，×）是（N，＋）的子半群，且（N，＋）@（T，×）。证明.令f：N→T，对任意n∈N，f(n)=2n.（1）f处处有定义.（2）f单:f(m)=f(n),即2m=2nÞm=n。（3）f满.（4）
10、f保持运算：f(m+n)=2m+n=2m×2n=f(m)×f(n)定理2.恒等元的同构像是恒等元设（S，*），（T，*）是独异点，恒等元分别是e和e’，同构f:（S，*）@（T，*’）,则f(e)=e’.证明.我们证明f(e)是T的恒等元。对任意b∈T，要证明b*’f(e)=f(e)*’b=b.由f满，存在a∈S，使f(a)=b.b*’f(e)=f(a)*’f(e)=f(a*e)=f(a)=b.f(e)*’b=f(e)*’f(a)=f(e*a)=f(a)=b.f(e)是恒等元，恒等元唯一，f(e)=e’.同态Homomorphisim设（S，
11、*）和（T，*’）是两个半群，函数f：S→T处处有定义，"a，b∈S，f(a*b)=f(a)*’f(b).称f是（S，*）到（T，*’）内的同态映射，如果f还是满射
