glj-chapter3 半群和群

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1、第三章半群与群第一节半群与独异点Semigroup&Monoid内容：半群，群，子群。重点：1、半群，可交换半群，独异点的定义，2、群，交换群(阿贝尔群)的定义及性质，3、群的阶的定义，4、循环群，生成元的定义及例子，5、子群的定义及判定。一、半群。1、定义：满足结合律的代数系统称为半群。(3)是半群，其中表示集合的对称差运算。例1、(1)，，，，都是半群。+是普通的加法。(2)是半群。.一、半群。1、定义：满足结合律的代数系统称为半群。(4)是半群，其中表示模，的加法。可交换半群(5)为半群，这里。为函数的复合运算。(6)为半群，其中R*为非零实数集合，。运算定义

2、如下：x,yR*,x。y=y2、独异点(含幺半群)：记作如例1中除了不是独异点外，其余的均是独异点，分别记作，，，，，。.为独异点，这里。为函数的复合运算。为半群，其中R*为非零实数集合，。运算定义如下：x,yR*,x。y=y不是独异点，没有幺元3、半群中元素幂。定义运算的幂，，指的是：(为正整数)(为非负整数)4、子半群。半群的子代数叫子半群，独异点的子代数叫子独异点。例如：，都是的子半群，且是的子独异点。判断子半群的方法?如果V=是半群,TS,如何判断是V的子半群？只要T对V中的运算.封闭,那么,就是V的子半群。判断

3、子独异点的方法?如果V=是独异点,TS,如何判断是V的子独异点？T对V中的运算.封闭eT符合以上两点，就是V的子独异点。例设半群V1=,独异点V2=其中.为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵。令独异点的子半群可以是独异点，但不一定是它的子独异点。二、群(Group)1、定义代数系统满足：①结合律，②有幺元，③任意元有逆元，则称为群。简称G为群。例2、(1)，，都是群，因任意元素的逆元存在，而，不是群，没有幺元，除0外，其余元素都没有逆元。因不是所有的阶矩阵都可逆。(2)是群，+不是群，.(3)是群，为幺元，，(4)是群，0为幺元，，例3

4、、四元群。，运算由下表给出：2、交换群(也称阿贝尔群)。如例2中的，，，都是阿贝尔群。，只含有单位元的群成为平凡群。3、群的阶。群的基数称为阶记。例如：的阶为，四元群的阶为4。群是有穷集.群是无穷集.4、群中元素的幂。对于群，定义：则可以把独异点中的关于的定义扩充为：为非负整数)(为正整数)(有关幂的两个公式：5、群中元素的阶(或周期)。群中元素的阶成立的最小正整数——使。例如：四元群中，的阶都是2，记。的阶为1，记。例4、，求模6的加群中各元素的阶。解：因，即，所以。同理可得：，，,

5、0

6、=1。6、群的性质。定理1.设G为群，则G中的幂运算满足：(1)(a-1)-1=a(2)(ab)-1

7、=b-1a-1(3)anam=an+m(4)(an)m=anm(5)若G为交换群，则(ab)n=anbn1.证明:(a-1)-1=aa的逆元素是a-1,a-1的逆元素是a2.证明:(ab)-1=b-1a-1(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aa-1=e(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=bb-1=e3.证明：anam=an+m用归纳法证明，分为以下4种情况：(1)m0n0(2)m0n<0(3)m<0n0(4)m<0n<04.证明：(an)m=anm用归纳法证明，分为以下4种情况：(1)m0n0(2)m0n<0(3)m<0n0(4)m<0n<05.证

8、明：若G为交换群，则(ab)n=anbn对n进行数学归纳当n=1时,(ab)1=a1b1成立假设当n=k时(ab)k=akbk成立当n=k+1时(ab)k+1=(ab)k(ab)=(akbk)(ab)=ak(bka)b=ak(abk)b=(aka)(bkb)=ak+1bk+1定理2.G为群，a,bG.方程ax=b和ya=b在G中有解且有唯一解.证:a-1b是ax=b的解.a(a-1b)=b假设c为解，则c=ec=(a-1a)c=a-1(ac)=a-1b同理可证ba-1是ya=b的唯一解.例：解方程设群G=，为集合的对称差运算解下列方程：{a}X=X={a}

9、-1Y{a,b}={b}Y={b}{a,b}-1定理3.G为群,则G中适合消去律，即对任意的a,b,cG,有若ab=ac，则b=c若ba=ca，则b=c证明：a-1(ab)=a-1(ac)=(a-1a)b=b=(a-1a)c=c同理可证若ba=ca，则b=c例5、证明是阿贝尔群当且仅当对，。证明：设为阿贝尔群，则，有，故例5、证明是阿贝尔群当且仅当对，。证明：反之，设，，即，即，由消去律，得，故为阿贝尔群。定理