《半群和群的性质》PPT课件

《《半群和群的性质》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2021/8/121回顾代数系统：封闭性半群：封闭性，可结合性独异点：(含幺半群)封闭性，可结合性，有单位元群封闭性，可结合性，有单位元，有逆元{群}{独异点}{半群}2021/8/122群的阶和元素的阶群G的阶G的基数，通常有限群记为

2、G

3、元素a的n次幂元素a的阶

4、a

5、：使得ak=e成立的最小正整数k有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！！！）；元素都是有限阶的群不一定是有限群2021/8/123例10.6（元素的阶）(1)无限群，

6、0

7、=1(2)模6整数加群，元素的阶(3)模

8、4整数加群，元素的阶(4)Klein四元群G={e,a,b,c}(5)群中元素的阶2021/8/124群的性质（消去律）定理10.2：设是一个群，对于任意的a,b,c∈G，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a，则必有b=c(消去律)。2021/8/125群的等价定义定义:满足(1),(2)及消去律且不含零元的有限代数系统是群，即满足消去率且不含零元的有限半群做成群。(1).运算*是封闭的(2).运算*是可结合的aG={ag

9、g∈G}=G群的性质例10.5设G={a1,a2,……,an}是一个n阶群，令aiG

10、={aig

11、g∈G}，则aiG=G。证：由群中运算满足封闭性有aiGG。若aiGG，即

12、aiG

13、中，如果存在a∈G，有a*a=a，则称a为幂等元。2021/8/128有限半群必存在幂等元性质：设是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.思路：(构造法)b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列b，b2，b3，…，bn，…必定存在j>i，s.t.bi=bj，令p=j-i

14、≥1，有bj=bp*bi，即bi=bp*bi.2021/8/129泵原理b0b1b2b3b4b5=b19=b33=…b6=b20=b34=…b7=b21=b35=…b8=b22=b36=…b15b9b10b11b14b16b172021/8/1210幂等元构造bi=bp*bi.bi=bkp*bibq=bkp*bq,其中q=kp*b*b*…*b*b*b*…*bbi=bp*bi=bp*（bp*bi）=……=bp*……*bp*（bp*bi）bi=bkp*bi,可找到k使得kp≥i设a=bkp，则a*a=a2021/8/1211证明性质：设<

15、S,*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.证明：(构造法)b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列b，b2，b3，…，bn，…必定存在j>i，s.t.bi=bj，令p=j-i≥1，有bj=bp*bi，即bi=bp*bi，且可知对任给的q≥i有bq=bp*bq。因为p≥1，所以总可找到k≥1，s.t.kp≥i。因此对于S中的元素bkp，有bkp＝bp*bkp＝bp*(bp*bkp)＝...=bkp*bkp.设a=bkp，则a∈S，且a*a=a2021/8/1212群中元素的性质定理10.3G为群，a∈G,且

16、

17、a

18、=r,则(1)ak=e⇔r

19、k(2)

20、a

21、=

22、a-1

23、(3)若

24、G

25、=n,则r≤n.证(1)充分性.ak=arl=(ar)l=el=e必要性.k=rl+i,l∈Z,i∈{0,1,…,r-1}⇒e=ak=arl+i=ai⇒i=0⇒r

26、k(2)(a-1)r=e⇒

27、a-1

28、存在,令

29、a-1

30、=t,则t

31、r.同理r

32、t.(3)假设r>n,令G={e,a,a2,…,ar-1},则G中元素两两不同，否则与

33、a

34、=r矛盾.从而

35、G

36、>n，与G⊆G矛盾.2021/8/1213群中幂等元唯一例：在群中，除单位元e外，不可能有任何别

37、的幂等元(即a*a=a)证：e*e=e，∴e为幂等元现设a∈G，a≠e且a*a=a则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e2021/8/1214元素的阶的性质（1）例：G为群，a∈G，

38、a

39、=r,证明

40、at

41、=r/(t,r)证：令

42、at

43、=s,设(t,r)=d,t=dp,r=dq,r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=es

44、q(at)s=e⇒ats=e⇒r

45、ts⇒q

46、psq

47、s（p,q互素）2021/8/1215元素的阶的性质（2）例10.7:G为有限

48、群，则G中阶大于2的元素有偶数个。证：a2=ea2=a-1aa=a-1，所以阶大于2的元素必有aa-1，且成对出现。2021/8/1216元素乘积的阶例:G为群，a,b∈G且可交换，

49、a

50、=m,

51、b

52、=n，若(m,