最新第4讲_半群和群的性质模版课件教学讲义ppt课件.ppt

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1、【最新】第4讲_半群和群的性质模版课件2021/8/22群的阶和元素的阶群G的阶G的基数，通常有限群记为

2、G

3、元素a的n次幂元素a的阶

4、a

5、：使得ak=e成立的最小正整数k有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！！！）；元素都是有限阶的群不一定是有限群2021/8/23例10.6（元素的阶）(1)无限群，

6、0

7、=1(2)模6整数加群，元素的阶(3)模4整数加群，元素的阶(4)Klein四元群G={e,a,b,c}(5)群中元素的阶幂等元定义：代数系统中，如果

8、存在a∈G，有a*a=a，则称a为幂等元。2021/8/27有限半群必存在幂等元性质：设是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.思路：(构造法)b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列b，b2，b3，…，bn，…必定存在j>i，s.t.bi=bj，令p=j-i≥1，有bj=bp*bi，即bi=bp*bi.2021/8/28泵原理b0b1b2b3b4b5=b19=b33=…b6=b20=b34=…b7=b21=b35=…b8=b22=b36=…b15b9b10b11b14b16b172021/8/29幂

9、等元构造bi=bp*bi.bi=bkp*bibq=bkp*bq,其中q=kp*b*b*…*b*b*b*…*bbi=bp*bi=bp*（bp*bi）=……=bp*……*bp*（bp*bi）bi=bkp*bi,可找到k使得kp≥i设a=bkp，则a*a=a2021/8/210证明性质：设是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.证明：(构造法)b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列b，b2，b3，…，bn，…必定存在j>i，s.t.bi=bj，令p=j-i≥1，有bj=bp*bi，即bi=bp*bi，且可

10、知对任给的q≥i有bq=bp*bq。因为p≥1，所以总可找到k≥1，s.t.kp≥i。因此对于S中的元素bkp，有bkp＝bp*bkp＝bp*(bp*bkp)＝...=bkp*bkp.设a=bkp，则a∈S，且a*a=a2021/8/211群中元素的性质定理10.3G为群，a∈G,且

11、a

12、=r,则(1)ak=e⇔r

13、k(2)

14、a

15、=

16、a-1

17、(3)若

18、G

19、=n,则r≤n.证(1)充分性.ak=arl=(ar)l=el=e必要性.k=rl+i,l∈Z,i∈{0,1,…,r-1}⇒e=ak=arl+i=ai⇒i=0⇒r

20、k(2)(a-1

21、)r=e⇒

22、a-1

23、存在,令

24、a-1

25、=t,则t

26、r.同理r

27、t.(3)假设r>n,令G={e,a,a2,…,ar-1},则G中元素两两不同，否则与

28、a

29、=r矛盾.从而

30、G

31、>n，与G⊆G矛盾.2021/8/212群中幂等元唯一例：在群中，除单位元e外，不可能有任何别的幂等元(即a*a=a)证：e*e=e，∴e为幂等元现设a∈G，a≠e且a*a=a则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e2021/8/2132021/8/214元素的阶的性质（1）例：G为群，a∈G，

32、a

33、=r,证明

34、a

35、t

36、=r/(t,r)证：令

37、at

38、=s,设(t,r)=d,t=dp,r=dq,r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=es

39、q(at)s=e⇒ats=e⇒r

40、ts⇒q

41、psq

42、s（p,q互素）2021/8/215元素的阶的性质（2）例10.7:G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个。证：a2=ea2=a-1aa=a-1，所以阶大于2的元素必有aa-1，且成对出现。2021/8/216元素乘积的阶例:G为群，a,b∈G且可交换，

43、a

44、=m,

45、b

46、=n，若(m,n)=1,则

47、a

48、b

49、=mn.⇒mn

50、r证：设

51、ab

52、=r1)(ab)mn=e⇒r

53、mn2)e=((ab)r)m=(ab)mr=(am)r(bmr)=bmr⇒n

54、mr⇒n

55、r,同理m

56、r,2021/8/217元素乘积的阶（2）例10.6:G为群，a,b∈G是有限阶元，则：(1)

57、b-1ab

58、=

59、a

60、(2)

61、ab

62、=

63、ba

64、证：(1)

65、设

66、a

67、=r,

68、b-1ab

69、=t，则1)(b-1ab)r=(b-1ab)(b-1ab)……(b-1ab)=b-1arb=b-1eb=e,所以t

70、r,同理r

71、t2）ab=b-1(bab)作业P20312,15,17,18,

72、192021/8/218第二章商事组织法合伙法公司法有限责任公司法股份有限公司法欧洲公司法第一节合伙法合伙的概念与特征特殊合伙合伙的成立合伙的内部与外部关系合伙的解散合伙：是指两个或两个以上的合伙人为了经营共同的事业，共同出资、共享利